SSM离散化表示

除了连续的输入之外，还会通常碰到离散的输入(如文本序列)。所以SSM需要离散化形式，就是下面公式2和3。

SSM离散化过程

但是好奇这个离散化过程是如何进行的？
《一文通透想颠覆Transformer的Mamba：从SSM、HiPPO、S4到Mamba》文章提到过程：
那模型如何处理离散化数据呢？可以利用零阶保持技术(Zero-order hold technique)

1、首先，每次收到离散信号时，我们都会保留其值，直到收到新的离散信号，如此操作导致的结果就是创建了 SSM 可以使用的连续信号。
2、保持该值的时间由一个新的可学习参数表示，称为步长(siz)——
，它代表输入的阶段性保持(resolution)。
3、有了连续的输入信号后，便可以生成连续的输出，并且仅根据输入的时间步长对值进行采样。

这些采样值就是我们的离散输出，且可以针对A、B按如下方式做零阶保持(做了零阶保持的在对应变量上面加了个横杠)

最终使我们能够从连续 SSM 转变为离散SSM。

离散化SSM表示的矩阵计算

看了很多文章，还是不明白，离散化SSM的矩阵A和B（上面带横杠）是如何计算得来的。
忽然灵机一动，大学课本中不知道是否有相关内容，翻出三十年前的课本，还真的有相关的内容，就是下面两页：


然后又找来了文章《MPC-连续状态空间方程到离散》，摘录相关内容如下：

连续状态方程：（从上面的公式（11-108）很容易得到下面的公式）

转变为离散方程：

在tk<=t<tk+1时候，根据上面的零阶保持技术(Zero-order hold technique)，u(t)恒等于uk，所以B*uk就是一个常数矩阵，根据矩阵积分原理，可以提到积分后面：

tk+1-tk就是步长(siz)——
，这样矩阵A（上带横线）就获得了。
计算离散的矩阵B：

这样矩阵B（带上横线）就也得到了。

推导完毕！