几何距离与函数距离：解锁数据空间中的奥秘

几何距离：直观的空间度量

几何距离，顾名思义，是我们在几何学中熟悉的距离概念，如欧几里得距离、曼哈顿距离和切比雪夫距离等。这些距离度量直接反映了数据点在多维空间中的位置关系。

欧几里得距离：最为人熟知的几何距离之一，它表示两点之间的直线距离。在二维平面上，两点A(x1,y1)和B(x2,y2)之间的欧几里得距离为(x2−x1)2+(y2−y1)2。在更高维空间中，该公式可以相应扩展。
曼哈顿距离：又称城市街区距离，它计算的是两点在标准坐标系上绝对轴距总和。在二维平面上，从点A到点B的曼哈顿距离为∣x2−x1∣+∣y2−y1∣。这种距离度量特别适用于那些只能沿坐标轴方向移动的场景。
切比雪夫距离：定义为两点之间各坐标数值差的最大值。在二维平面上，两点间的切比雪夫距离为max(∣x2−x1∣,∣y2−y1∣)。它常用于棋盘格上的移动问题。

几何距离以其直观性和易理解性，在数据分析和机器学习中得到了广泛应用。它们不仅用于计算数据点之间的相似度，还常用于聚类分析、异常检测等领域。

函数距离：灵活的数据关系表达

与几何距离不同，函数距离并非直接基于数据点在空间中的位置来定义，而是通过某种函数关系来反映数据点之间的“距离”。这种距离往往更加灵活，能够捕捉到数据之间的复杂关系。

在支持向量机（SVM）中，函数距离（也称为功能间隔）是一个核心概念。它表示数据点到超平面的距离，但这个距离并非物理上的直线距离，而是通过超平面的函数表达式f(x)=wTx+b来定义的。具体来说，对于数据点x，其到超平面的函数距离为∣f(x)∣。注意，这里的“距离”是带符号的，反映了数据点位于超平面的哪一侧。

为了统一度量标准，SVM中常使用几何间隔作为优化目标，它是对函数间隔进行归一化处理后的结果。几何间隔不仅考虑了数据点到超平面的垂直距离，还考虑了超平面的法向量长度，从而消除了不同超平面因法向量长度不同而导致的距离差异。