C语言中32位浮点数的格式

GNU C为例,它遵循 IEEE 754-2008标准中制定的浮点表示规范。在该规范中定义了 5种不同大小的基础二进制浮点格式,包括:16位,32位,64位,128位,256位。其中,32位的格式被用作标准 C类型的 float64位的格式被用作标准 C类型的 double128位的格式被用作标准 C类型的 long double

每种浮点格式都由三部分组成,包括:1个比特的符号位、若干比特的指数位、若干比特的小数位,如下图所示:
浮点格式

C语言中 float类型(32位浮点)为例,它的符号位占 1位,指数位占 8位,小数位占 23位,如下图所示:
C语言float类型格式

值得注意的是,
1)指数位编码的指数以 2为底数,若要表示很小的数,例如 1/(2^n) == 2^(-n),则指数位会出现负数 (-n),那么还需要专门的符号位来表示,因此指数位是以 127为偏移的,也就是说,一个数在用浮点数来表示时,其指数位的值是实际指数值加上 127。对于 64位浮点数,它的指数位是 11个比特,以 1023为偏移。
2)浮点数的小数部分是将该浮点数表示为 2^n * 1.m后,0.m那部分的数值,也就是说,整数部分始终是 1,且被忽略了(不用保存),这样就能省出一位来表示更高的精度。

举例来说,
1)0.5 = 2^(-1) * 1.0,其指数位为 (-1 + 127),小数位为 0.0,其二进制是:0 01111110 00000000000000000000000,也就是 0x3F000000
2)5 = 2^(2) * 1.25,其指数位为 (2 + 127),小数位为 0.25,其二进制是:0 10000001 01000000000000000000000, 也就是 0x40A00000

测试代码如下:

#include <stdio.h>int main(void)
{float a = 0.5;unsigned int *b = (unsigned int*)&a;printf("b = 0x%X\n", *b);a = 5;printf("b = 0x%X\n", *b);
}

程序运行结果如下:

$ gcc -o main main.c 
$ ./main 
b = 0x3F000000
b = 0x40A00000

32位浮点的指数宽度来看,理论上,它可以表示很大的数,比如:2^(128) * 1.9999999,这比我们 32位整型能表示的范围(2^(32) - 1)大的多,但受限于浮点小数位的宽度,有些 32位整型数是无法用浮点数来表示的,也就是会出现空洞,原因是浮点数的小数部分精度有限,当小数部分比 1/(2^23)还小时,就无法准确表示该整型数,例如:2^(24) + 1这个数用 32位整型来表示是没有问题的,但用 32位浮点来表示,则会被舍入为:2^24

测试代码如下:

#include <stdio.h>int main(void)
{float a = 1 << 24;unsigned b = 1 << 24;printf("a = %f, b = %u\n", a, b);a += 1;b += 1;printf("a = %f, b = %u\n", a, b);return 0;
}

程序运行结果如下:

$ gcc -o main main.c
$ ./main 
a = 16777216.000000, b = 16777216
a = 16777216.000000, b = 16777217

参考资料:

  1. https://www.gnu.org/software/c-intro-and-ref/manual/html_node/Floating-Representations.html
  2. https://docs.nvidia.com/cuda/floating-point/index.html

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