题目

证明

的MAP估计量为

其中是一个的矢量, 是一个可逆的p*p的矩阵。也就是说，MAP估计量对可逆的线性变换是可以变换的。

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解答

已知的联合概率密度

且：

现在知道：

那么为了获得变换后的MAP，首先需要根据求出

根据概率密度变换的基本知识：

（具体可以参考：随机过程——随机变量的函数变换(换元)_连续型分布函数的变换-CSDN博客）

又因为是可逆的，可以得到：

因此：

注意，上式本质上是雅可比行列式变换。由于不包含。因此，如果寻找不同下的最大值，等同于寻找不同下的最大值。而又根据的最大值出现在处，那么根据线性关系，就可以得到此时的就是达到最大值对应的，即：

最后，再利用两个估计量的线性关系，得到：

也就是MAP估计量（此例中的）对可逆的线性变换（此例中的）,直接可以得到变换后新参数的MAP估计量（此例中的）

注意MMSE估计量也有一样的线性性质，参见书（11.5）公式