416. 分割等和子集 - 力扣（LeetCode） 

解1：二维dp数组，时间O(m*n)，空间O(m*n)，m、n为dp数组的行和列数。

判断原数组总和能否整除2；

将target设为total // 2（若是total / 2，target为float，需要转为int才能以target为维度新建dp数组）；

* 新建dp，行数 = nums长度，列数 = target+1，i行j列dp[i][j]表示从子数组nums[0:i+1]（第0~第i个数）不重复地取数，能够获得的不超过j的最大总和。dp[len(nums)-1][target]若等于target，说明在整个nums中能够不重复地取出总和恰好为target的数，返回true。

* 考虑dp[i][j]的计算：若当前数nums[i] > j，说明i不可加入，于是dp[i][j] = dp[i-1][j]。否则，i可能加入，获得总和 = dp[i-1][j-nums[i]] + nums[i]（将加入了i数的背包想象成两部分，一部分是i数本身，价值和重量都为i，另一部分不含i而且重量上限为j-nums[i]，dp[i-1][j-nums[i]]就是第二部分能取到的最大价值）；i也可以选择不加入，获得总和 = dp[i-1][j]。用i加入/不加入中的较大者更新dp[i][j]。

由此可见，需要通过dp[i][j]左侧及上侧的值计算它。遍历时从左到右，从上到下。

* base情况，考虑左、上边缘的值：1）dp[x][0]表示总和上限=0，因此dp[x][j]=0（dp本来都初始化为0，不需处理）；2）dp[0][x]表示只考虑nums第0个数，则当x小于nums[0]，初始为0，当x不小于nums[0]，都初始化为nums[0]。

遍历每行、每列，直到右下角。

class Solution:def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:if len(nums) <= 1:return Falsetotal = sum(nums)if total % 2 != 0:return Falsetarget = total // 2#dp[i][j]:从nums的[0, i]中取数，能获得的不超过j的最大总和.dp: len(nums) * (target+1)dp = [[0 for _ in range(target+1)] for _ in range(len(nums))]#转移：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-nums[i]]+nums[i])#base：不超过0的最大总和：只能不取任何数，dp[x][0] = 0, #      只考虑第0个数时：dp[0][x] = nums[0] if x >= nums[0] else = 0for x in range(nums[0], target+1):dp[0][x] = nums[0]for j in range(1, target+1):#最大和=jfor i in range(1, len(nums)):#取0~i个数if nums[i] > j:dp[i][j] = dp[i-1][j]else:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-nums[i]]+nums[i])return dp[-1][-1] == target

解2：压缩为一维dp数组，时间O(m*n)，空间O(n)

将物品/nums[i]维度压缩掉了，dp是长度=target+1的一维数组，按nums[0]的情况初始化dp。由于新的dp[j]需要参考“上一行左侧”或“上一行正上方”的值，应该从后往前遍历dp，防止上一行的值在使用之前被新的值覆盖。若当前数nums[i]超过当前上限j，不改变dp[j]的值（相等于沿用上一行正上方的值）；否则，用当前值dp[j]与dp[j-nums[i]] + nums[i]的较大者更新当前值。

class Solution:def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:if len(nums) <= 1:return Falsetotal = sum(nums)if total % 2 != 0:return Falsetarget = total // 2dp = [0 for _ in range(target+1)]for i in range(1, target+1):if nums[0] <= i:dp[i] = nums[0]for i in range(1, len(nums)):for j in range(target, 0, -1):if nums[i] <= j:dp[j] = max(dp[j], dp[j-nums[i]] + nums[i])return dp[-1] == target