质数

质数：在大于1的整数中，如果只包含1和它本身这两个约数，就被称之为质数

（1）质数的判定——试除法

bool is_prime(int n) {if (n < 2) return false;for(int i = 2; i <= n / i; i ++ ) {if(n % i == 0) return false;}return true;
}

时间复杂度O(sqrt(n)) 一定是sqrt(n)

（2）分解质因数——试除法

从小到大枚举所有数

n中最多只包含一个大于sqrt(n)的质因子，因此可以单独把质因子拿出来，这样就可以把时间复杂度降低到sqrt(n) （一般logn ~ sqrt(n)）

void divide(int x) {for(int i = 2; i <= n / i; i ++ ) {if(n % i == 0) {int s = 0;while(n % i == 0) {n /= i;s ++;}printf("%d %d \n", i, s);}}if(n > 1) printf("%d %d\n", n, 1);puts("");
}

（3）筛质数

a. 埃式筛法

时间复杂度O(nloglogn)

void get_primes(int n ) {for(int i = 2; i <= n; i ++ ) {if(!st[i]) {// 如果没有被筛过，说明是质数primes[cnt ++ ] = i;//把每个质数的倍数筛掉for(int j = i + i; j <= n; j += i ) st[j] = true;}}
}

b. 线性筛法

保证每个数只会被它的最小质因子筛掉

void get_primes(int n) {for(int i = 2; i <= n; i ++ ) {//如果是质数，放到数组中if(!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;//从小到大枚举所有质因子for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ ) {st[primes[j] * i] = true;if(i % primes[j] == 0) break; //primes[j]是i的最小质因子}}
}

当n = 1e6，线性筛法和埃式筛法时间差不多，当n = 1e7，线性筛法更快