计算图像膨胀和腐蚀

定义：

• $A^c$ 表示集合A的补集
• 几何的反射
  有集合A中所有元素相对于原点的反射元素组成的集合称为集合A的反射，几位 $\hat{A}$
  A ^ = { w ∣ w = − a , a ∈ A } \hat{A} = \{w | w = -a, a \in A\} A^={w∣w=−a,a∈A}
  其中，x表示集合A中的元素a对应的反射元素
  
• 集合的平移
  由集合A中所有元素平移 $z=(z_1,z_2)$ 后组成的元素集合称为集合A的平移，即为 $(A{)}_z$。
  ( A ) z = { w ∣ w = a + z , a ∈ A } (A)_z = \{ w|w = a + z, a \in A\} (A)z​={w∣w=a+z,a∈A}
  其中，x表示集合A中的元素a平移z后形成的元素

膨胀运算的基本过程是：

1. 求结构元素B关于其原点的反射集合 $\hat{B}$
2. 每当结构元素 $\hat{B}$ 在目标图像A上平移后，结构元素 $\hat{B}$ 与其覆盖的子图像中至少有一个元素相交时，就将目标图像中结构元素 $\hat{B}$ 的原点对应的那个位置的像素值置为 “1”， 否则置为0.

碰撞运算的应用：利用碰撞运算将相邻的物体连接起来、利用碰撞运算填充目标区域中的小孔

腐蚀运算在物体识别中的应用：利用腐蚀算法识别物体

up主讲解（膨胀理解错了）
膨胀，反射之后把核心漏在外面，手臂有屋子就将核心位置扩张成屋子, up2

计算开操作和闭操作

1. 开操作
   使用同一结构元素对目标图像先进行腐蚀运算，然后再进行膨胀运算称为开操作。开操作一般使对象的轮廓变得光滑，断开狭窄的间断和消除细的突出物。
   结构元素B对目标图像A的开操作定义为：
   $$A\circ B=(A\ominus B)\oplus B$$

2. 闭操作
   使用同一结构元素对目标图像先进行膨胀运算，然后再进行腐蚀运算称为闭操作。闭操作同样使轮廓线更加光滑，但它通常消弭狭窄的间断和长细的鸿沟，消除小的孔洞，并填补轮廓线中的断裂。
   结构元素B对目标图像A的闭运算定义为：
   $$A\odot B=(A\oplus B)\ominus B$$

击中或击不中变化

是形状检测的基本工具
目的是找到形状得到位置

up主讲解

击中或击不中变换主要是在图像中寻找相关对象位置的一种方法。如果B可表示为由X和X的背景构成的集合，则在A中对B进行匹配的操作定义为
$$A⊛B=(A\ominus X)\cap [A^c\ominus (W-X)]$$

可以分为两个步骤：

1. 是将X与A做腐蚀操作
   $X为$
   
   $(W-X)为$
   
   就是在X外面套一个框框，然后给X抹除，黑色的为原点；

   $待检测的目标:$
   $X对各目标腐蚀后的结果为:$
   
   $(W-X)对各个目标腐蚀后的结果为：$
   要理解框框对他们的腐蚀结果就要按照腐蚀的第二个定义出发。
   结构元素与目标的补集交集为空。
   所以有
   $$\begin{gathered} A^c\ominus (W-X) \\ =(W-X{)}_z\cap A=\varnothing \end{gathered}$$
   
   $腐蚀后的结果为：$
   
   最后相交的结果就是目标的位置

例：求 $A\ominus B_1-A\oplus B_2$ 的运算结果，其中结构单元中有下划线的数字为坐标原点。