其中所有的公式都直接显示latex代码，不要进行编译，注意公式必须前后有$$，单独的字母或单词不需要用latex，比如i这个字母；如：

 $ $\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt\,. $ $ （复制粘贴该prompt注意剔除$之间的空格）

附：

        LaTeX 是一种用于文档排版的排版系统，以其强大的排版能力和优雅的输出而闻名。最初由莱斯利·兰伯特发明的，它在学术界，特别是在数学、物理和计算机科学等需要复杂公式排版的领域中得到了广泛应用。LaTeX基于TeX系统，它允许用户通过编写标记语言来控制文档的结构和格式，而非使用传统的所见即所得（WYSIWYG）编辑器。这种方法不仅提高了文档的一致性和专业性，还使得文档内容和格式分离，从而便于文档的维护和修改。

        LaTeX的核心优势在于其卓越的数学公式排版能力。使用LaTeX，用户可以轻松地输入和显示复杂的数学表达式，这在其他文本处理软件中是难以实现的。此外，LaTeX还提供了丰富的包（packages）和宏（macros），使得用户可以扩展其功能，以满足特定需求。例如，用户可以使用graphicx包插入图像，使用biblatex管理参考文献，或者使用beamer创建专业的演示文稿。

        LaTeX文档的结构一般包括三个部分：导言区、正文和附录。在导言区，用户需要声明文档类型（如article、report或book），并加载必要的包。在正文部分，用户可以按照章节、节和小节的层次结构组织内容。LaTeX还提供了丰富的命令，用于创建标题、列表、表格、引用等。此外，通过定义自己的命令和环境，用户可以极大地自定义文档格式。

        LaTeX的另一个显著特点是其跨平台兼容性。LaTeX文档可以在不同操作系统之间无缝迁移，包括Windows、MacOS和Linux。此外，许多在线平台（如Overleaf）提供了基于云的LaTeX编辑和编译环境，使得用户可以随时随地编写和共享LaTeX文档。

        尽管LaTeX学习曲线较陡，初学者可能会感到一些困难，但其强大的功能和灵活性使得它在长远来看是值得投资的工具。通过不断学习和实践，用户可以掌握LaTeX的各种高级功能，极大地提升文档排版的质量和效率。总的来说，LaTeX是一个强大而灵活的排版工具，为需要高质量文档排版的用户提供了理想的解决方案。