一、数学

(一) 高数

0.初等数学补充

1.初等数学公式：
(1)立方和公式：$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$   【例如：$1+x^6=1+(x^2{)}^3=(1+x^2)(x^4-x^2+1)$】
(2)立方差公式：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$   【例如：$t^3-1=(t-1)(t^2+t+1)$】
(3)球体体积：$V=\frac{4}{3}\pi R^3$
球体的表面积：$S_{球表面积}=4\pi R^2$
(4)诱导公式：$(\sin \theta +\cos \theta )\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin (\theta +\frac{\pi }{4})$

2.高等数学拓展公式：
① $x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)$

3.极坐标：
极点：原点
极轴：x轴

4.拓展
(1)$\arcsin x$
①$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$
②$\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$ 【$\sin x=\frac{1}{2}$，则$x=\frac{\pi }{6}$】

(2)公式：$1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

1.函数、极限、连续

1.求极限：
①非零因子可以先算出来，其他不行：
Ⅰ.同一极限号下，不能求二次极限，尤其是幂指函数。要用$x=e^{\ln x}$ 【660 T133】 (但其他均为常数，则可直接求出来，如880 第一章综合填空4)
Ⅱ.等价无穷小只能 分子、分母 整除，内函数不可以等价代换。(如幂函数、幂指函数的指数、底数)

2.可去间断点：左右极限存在且相等

3.等价无穷小：
$1-{\cos }^{\alpha }x\sim \alpha (1-\cos x)\sim \frac{\alpha }{2}{x}^2$

4.判断是夹逼原理还是定积分定义：看变化部分的最大值与主体部分相比较：
①是次量级：夹逼
②是同量级：定积分定义 【高数辅导讲义 P30】

5.幂指函数求极限：
①$x=e^{\ln x}$
②$[1+\alpha (x){]}^{\beta (x)}-1\sim \alpha (x)\cdot \beta (x)$   【当 $\alpha (x)\to 0，\alpha (x)\cdot \beta (x)\to 0$时】

6.函数四性态：
③周期性：$f(x)$是以T为周期的可导周期函数 ⇨ $f^{\prime }(x)$也是以T为周期的周期函数 【可导的周期函数的导函数，仍为周期函数 】
④有界性：$f^{\prime }(x)$在有限区间I上有界 $\Rightarrow$ $f(x)$在有限区间I上有界

7.开根要带绝对值：$\sqrt{a^2}=|a|$

8.求数列极限有下界：数学归纳法 【18年19.】
$x_1>0$，设$x_n>0$，则 $x_{n+1}=...>0$
由数学归纳法可知，对所有正整数n，有$x_n>0$成立
∴数列{$x_n$}有下界0

2.导数

1.含绝对值的函数可以求导：分正负(x>0,x<0)，分别求导，导函数是分段函数 【660 T152】
结论：$|x|x^n$ 在x=0处n阶可导

2.增减区间的书写规范：
①多个增(减)区间 用 ， 或 和 连接
②同一用开区间 ()，避免端点没有定义或者端点不单调

3.导数公式：
①$(\tan x{)}^{\prime }=\sec x^2$
②$(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$

4.导数定义：
(1)导函数的定义
① $y^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

② $f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 【15年18.】

3.中值定理

1.微分中值定理证明题：
(1)第一问的结论，往往作为求证第二问的条件
中值定理：【13年18、16年19】

(2)方程的根、证明不等式、微分中值定理：
基本思想：①移到一边 ②设辅助函数，看奇偶性 ③求导

2.证明拉格朗日中值定理：【09年18.】
构造辅助函数F(x)=f(x)-g(x)，用罗尔定理F(a)=F(b)=0

3.方程的根的存在性及个数：【11年17、17年18】

4.介值定理：
f(x)在[a,b]上连续，C介于f(a)和f(b)之间。则 $\exists \xi \in (a,b)$使得$f(\xi )=C$。

5.放缩：
①绝对值：$|a\pm b|\le |a|+|b|$
②最大值函数max： a + b ≤ 2 max ⁡ { a , b } a+b≤2\max\{a,b\} a+b≤2max{a,b}

6.泰勒公式
(1)泰勒公式：
$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(x_0)}{3!}(x-x_0{)}^3+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x})$

(2)麦克劳林公式：令$x_0=0$
$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{3!}{x}^3+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+o(x^n)$

(3)泰勒公式展开
展开到几次：
Ⅰ.加减关系：同次幂系数相加减不为0
Ⅱ.乘除关系：上下同此幂
Ⅲ.泰勒展开，展少了，会导致系数不对。尤其是展开项要乘多项式的时候，容易漏。
展多了，计算了一些没用的数值，浪费考试时间。

例如：16年12. 求$f^{\prime \prime \prime }(0)$，就展开到3阶，$\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{3!}=a_3$

7.极值点与拐点：
①可导函数，某点若是极值点则一定不是拐点，若为拐点则一定不为极值点。
②$f(x)$在某点不可导 (如分段函数的分界点)，则可能同时为极值点和拐点。

变上限积分的链式求导错误，导致f’(x)求错，无法消去多余项，导致驻点求不出。【10年16】

8.渐近线：
偶函数的渐近线：偶函数关于x=0对称，只求x→+∞方向，然后左右对称。
①水平渐近线：右边有，左边就是共享同一条 【0或1条】
②垂直渐近线：若有，1条x=0 或 偶数条垂直渐近线(左右对称) 【0,1,2,4,…】
③斜渐近线：
Ⅰ.若偶函数有水平渐近线，则两方向均无斜渐近线【0条)】
Ⅱ.若偶函数无水平渐近线，则有 0或2条 斜渐近线。若偶函数在x→+∞时有斜渐近线 $y=ax+b$，则x→-∞有斜渐近线 $y=-ax+b$

9.不等式问题：
(1)函数不等式：
①先看奇偶性，用f(-x)去试。若为偶函数，则只需要证明右半边。尤其是x属于对称区间。【12年15.】
②移到一边构造辅助函数，求导看单调性。
③若f’(x)不好看出正负：Ⅰ.放缩：根据x的取值范围，进行适当的放缩，使得导数>0或<0 。Ⅱ.求二阶导

10.证明常用：
(1) $\cos x$ 在$(0,\frac{\pi }{2})$上单调减少
【2014年19：当 $0<a_n<\frac{\pi }{2}，0<b_n<\frac{\pi }{2}$时，若有$\cos b_n<\cos a_n$，∵$\cos x$ 在$(0,\frac{\pi }{2})$上单调减少 ∴ $0<a_n<b_n<\frac{\pi }{2}$】

(2)基本不等式
①$\sin x<x<\tan x，x\in (0,\frac{\pi }{2})$

②$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x，x\in (0,+\infty )$   ⇨   $\frac{1}{n+1}<\ln (1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}$

③$a^2+b^2\ge 2ab$

④$|x\pm y|\le |x|+|y|$   （和差的绝对值 不超过 绝对值的和）

4.积分

1.不定积分公式：$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$
$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$
$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C$
$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$

2.变上限积分的可导性：
$f(x)$在$[a,b]$上除$x=x_0\in (a,b)$外均连续，则在点$x=x_0$处，则

f(x)在$x=x_0$处	${\int }_a^{x}f(t)dt$
①连续	可导
②可去间断点	可导
③跳跃间断点	连续但不可导

3.反常积分判敛散性：
先看是两种反常积分的哪一种，若两种都包含，则拆分区间拆成两种 【16年1.】

(1)定义：凑微分求出原函数，代入端点值看是否收敛
(2)比较判别法：
(3)P积分：

4.三角代换
$\sqrt{a^2+x^2}$   令 $x=a\tan t$

5.微分方程

6.空间解析几何

1.两面垂直 $\iff$ $\overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}$ $\iff$ $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=0$
xOy面：即z=0。法向量为 (0,0,1)

2.曲面与空间曲线：
(1)旋转曲面 【13年19.】
(2)投影曲线 【17年19.(1)】

7.多元微分

1.多元函数
$z=f(u)=f(e^x\cos y)$是一元函数，$f^{\prime }=f^{\prime }，f^{\prime \prime }=f^{\prime \prime }$

2.梯度：
梯度的模：$|\overrightarrow{gradf|}=\sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial f}{\partial y}{)}^2}=\sqrt{f_x^{\prime 2}+f_y^{\prime 2}}$   【15年17.】

8.重积分

1.求质心、形心，注意对称性：关于x轴对称则$\bar{y}=0$；关于y轴对称则$\bar{x}=0$ 【13年19.】

9.曲线曲面积分

1.曲面的侧判断曲面是否封闭：
(1)内侧、外侧：已封闭，直接用高斯公式   【21年14.】
(2)上侧、下侧、左侧、右侧、前侧、后侧：未封闭，补面用高斯公式

10.无穷级数

1.泰勒级数
$\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}(-1\le x\le 1)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...$

2.求幂级数的和函数：
(1)提出x作分母：对x≠0，x=0分类讨论。   【2012年17】
(2)要用逐项求导，先求收敛区间。   【2013年16(1)】

3.逐项求导，只在开区间(-R,R)上成立。端点值要单独讨论。   【2021年18(2)】

11.其他杂记

1.高数常用技巧：减项、加项

2.简化计算：
(1)等价变形：
①$\ln \frac{1+x}{1-x}=\ln (1+x)-\ln (1-x)$
②$\ln (1+e^x)=x+\ln (1+e^{-x})$   【提出e^x】

(2)图形面积
①${\int }_0^{\pi }\sin x=2$，${\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}x=\frac{\pi }{2}$

②${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}=1$

3.多元积分：【第二类线面是重点】
(1)三大公式【均是求二类】
格林公式：封闭的二维二类线积分→二重积分
斯托克斯公式：封闭的三维二类线积分→曲面积分 (平面则用一类面，曲面用二类面)
高斯公式：二类面积分→三重积分

(2)奇偶性：
圆(球)、椭圆(椭球)，关于x轴、y轴 (xoy、yoz、zox面)均对称，遇到x、y、z的奇函数，其二重积分、三重积分、一类线、一类面积分为0

(3)形心公式
求二重积分、三重积分、一类线ds、一类面dS对x,y,z的积分时，可以考虑形心公式。
如：$\oint xds=\bar{x}\cdot l$

4.①牛顿-莱布尼茨公式：$f(x_2)-f(x_1)={\int }_{L}df={\int }_{x_1}^{x_2}\frac{df}{dt}dt$   【联系了积分和微分】
②Green公式：${\oint }_{L}Pdx+Qdy={\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$   【联系了封闭的第二类曲线积分和二重积分】

③斯托克斯公式是格林公式的推广：若把斯托克斯公式的第三列的第二行、第三行都取0，然后按第三列展开，发现就是格林公式。

④Gauss公式：$\iint Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\underset{\Omega }{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv$   【联系了封闭的第二类曲面积分和三重积分】

5.高斯公式 + 有奇点，要挖洞：
$I=\underset{\Sigma }{\iint }=\underset{\Sigma +{\Sigma }_1}{\iint }-\underset{{\Sigma }_1}{\iint }$

6.武老师押题：
①数列极限，22 23考的泰勒
②不考傅里叶级数，23考过。傅里叶级数只会出选填。
③二类线积分 (我猜大概率是格林 + 挖洞 )，22考的二型线 斯托克斯，23考的二类面 高斯

7.第二型曲面积分的含义是：对三维空间中的曲面，在二维平面上的投影做二重积分

8.空间曲面的面积×$\cos \gamma$=投影到xoy平面的面积

空间曲面的面积 $=\underset{\Sigma }{\iint }1dS$
投影到xoy平面的面积 $=\underset{D}{\iint }1d\sigma$
$\cos \gamma =\frac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}$

9.第二类曲面积分，对dxdy就是投影到xoy面。若f(x)投影到xoy面是一条直线或曲线，不是投影成带阴影的面积，则积分为0。【二类面，直接法，投影成线，积分为0】

10.画空间平面的方法(求曲线曲面积分时)：如x+y+z=0、x+y+z=1、z=x+y (x+y-z=0)
①令z=0，得xoy面上的直线
②根据平面方程易得平面法向量。根据法向量的方向将平面直线延伸为空间平面。

11.选择题：
①直接法
②排除法：具体函数法、特殊值法

排除法尽量用在：①直接法不方便求解、计算繁琐 ②验证答案 时使用
举例：讲义P156例2

12.高数真题：
(1)多元微分怎么考？
选择考概念，大题考多元极值、最值

(2)无穷级数怎么考？
选择考常数项级数的敛散性判断，大题考求和函数

(3)数一的高数4道大题都考哪些考点？
①求函数极限、导数和微分方程的几何应用：求单调区间和极值、多元微分求极值
②无穷级数：求和函数
③数列极限：递推、夹逼/单调有界求极限
④曲线曲面积分、旋转曲面、多元微分集合应用
⑤微分中值定理

(二) 线代

0.串联各章的等价条件

1. ①A可逆
⇦⇨②|A|≠0
⇦⇨③r(A)=n，A满秩
⇦⇨④Ax=0仅有零解
⇦⇨⑤A的列向量 α₁,α₂,…α_n线性无关
⇦⇨⑥A的特征值均不为0 【17年5.】

2. ①A不可逆
⇦⇨②|A|=0
⇦⇨③r(A)<n，A不满秩
⇦⇨④Ax=0有非零解
⇦⇨⑤A的列向量 α₁,α₂,…α_n线性相关
⇦⇨⑥A有零特征值

1.行列式、矩阵的秩、矩阵的初等变换

1.$r(A)=k$：
最高阶非零子式的阶数为k；至少存在一个k阶子式不为0，所有高于k阶的子式全为0

2.$r(A)=1$，则：
①特征值为 tr(A) 及 n-1个0
②tr(A)≠0，则A可相似对角化；tr(A)=0，则A不可相似对角化。

3.秩的性质：
(1)$\mathrm{r}(\mathrm{A})$$=\mathrm{r}({\mathrm{A}}^{\mathrm{T}})=\mathrm{r}(\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}})=$$\mathrm{r}({\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\mathrm{A})$   【2012年21(1)】
(2)$\mathrm{r}(\mathrm{A}+\mathrm{B})\le \mathrm{r}(\mathrm{A})+\mathrm{r}(\mathrm{B})$   【2013年21(2)】

4.初等矩阵：
①互换初等矩阵$E_{ij}$的逆和转置为本身：${E_{ij}}^{-1}=E_{ij}={E_{ij}}^T$
②倍加初等矩阵$E_{ij}(k)$：$[E_{ij}(k){]}^{-1}=E_{ij}(-k)$
【$E_{ij}(k)$：第i列的k倍加到第j列，或 第j行的k倍加到第i行】

5.矩阵的初等变换：
(1)左乘行变换，右乘列变换
(2)矩阵A可经初等列变换化为矩阵B ⇦⇨ 矩阵方程AX=B有解 ⇦⇨ r(A)=r(A,B) 【18年21.】

2.向量

1.向量个数与维数的关系：
①方程个数<未知数个数，即个数>维数，则线性相关。
②n维向量空间，若要向量组线性无关，最多只能有n个向量。即：若线性无关，则个数≤维数 (逆否命题)

2.向量空间：向量 = 基 ·坐标
$\beta =({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+x_3{\alpha }_3$

3.向量空间：过渡矩阵：原基 右乘过渡矩阵，到新基
$AP=B$，则 $P=A^{-1}B$

小技巧： $(A|B)\to (E|A^{-1}B)$

4.n维非零列向量的性质：
对任意非零列向量 α,β，有以下性质：
① $\mathrm{r}(\beta {\alpha }^{\mathrm{T}})=\mathrm{r}(\alpha {\alpha }^{\mathrm{T}})=\mathrm{r}(\beta {\beta }^{\mathrm{T}})=1$   【2013年21(2)】
② $\mathrm{tr}(\beta {\alpha }^{\mathrm{T}})={\alpha }^{\mathrm{T}}\beta$，$\mathrm{tr}(\alpha {\alpha }^{\mathrm{T}})={\alpha }^{\mathrm{T}}\alpha ，\mathrm{tr}(\beta {\beta }^{\mathrm{T}})={\beta }^{\mathrm{T}}\beta$

3.方程组、矩阵方程AX=B

1.Ax=0有非零解：
⇦⇨ |A|=0   【15年20.(2)】
⇦⇨ A的列向量 α₁,α₂,…,α_n 线性相关
⇦⇨ r(A)<n
⇦⇨ A不可逆

(1)证明${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_n$线性无关：【09年20.(Ⅱ)】
①定义法
②|A|≠0

(2)$A_{11}\ne 0$ (除去第一行第一列的剩下n-1阶矩阵不全为0)，则：
① $r(A)\ge n-1$
②${\alpha }_2,{\alpha }_3,...,{\alpha }_n$线性无关

2.非齐次线性方程组的几何意义

3.同解方程组的充要条件：行向量组等价

4.方程组Ax=0与Bx=0的公共解：
①A、B都为具体的方程组： 公共解为 联立方程组 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{A}{B}\right)x=0$的解
②A为具体方程组，B为基础解系：将B的通解代入A
③A、B均为基础解系：r=通解1=通解2=通解1-通解2

5.Ax=0：相关性
Ax=β：表示性

6.非齐次A_m×nx=β有两个不同的解 ：     【880 方程组综合选择3、数一2010年20.】
⇨ 齐次Ax=0有非零解 ⇦⇨ r(A)<n，A的列向量组线性相关
⇦⇨r(A)=r(A|b)<n，A_m×nx=β有无穷多解

7.与Ax=0的基础解系等价的线性无关的向量组，也是Ax=0的基础解系   [880 方程组 综合解答3]

8.写行列式、矩阵，注意不要漏抄负号、平方号！

9.求非齐次特解：令自由变量均为0
求齐次通解：令自由变量为 (1,0) (0,1)

4.特征值、特征向量

1.相似：$P^{-1}AP=B$，则$A\sim B$
相似对角化：$P^{-1}AP=\Lambda$，则$A\sim \Lambda$

2.相似与合同
相似⇨特征值相同、秩相同：r(A)=r(B)、r(λE-A)=r(λE-B)
合同⇨正负惯性指数相同

3.求特征值λ对应的特征向量：
①求出$(\lambda E-A)x=0$的基础解系 ${\xi }_1，{\xi }_2，...，{\xi }_n$
②矩阵A的属于特征值λ的全部特征向量为：齐次方程组$(\lambda E-A)x=0$的通解去掉零解，即$k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+...+k_n{\xi }_n$ (k₁,k₂,…,k_n不全为0)

即 全部特征向量，是方程组$(\lambda E-A)x=0$的非零通解

4.求可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=\Lambda$：
①求全部特征值 λ₁ λ₂ λ₃和对应的特征向量 α₁ α₂ α₃
②令$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，则$P^{-1}AP=\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right)$

5.已知矩阵A、B。要求可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=B$。
我们没有学过直接相似的定理。都需要经过对角矩阵来实现传递性，即$A\sim \Lambda ，B\sim \Lambda$ ⇨ $A\sim B$。即有$P_1^{-1}A{P}_1=\Lambda ，P_2^{-1}B{P}_2=\Lambda$，$\therefore P_1^{-1}A{P}_1=P_2^{-1}B{P}_2$，$\therefore P_2{P}_1^{-1}A{P}_1{P}_2^{-1}=B$。即 存在$P=P_1{P}_2^{-1}$，使得$P^{-1}AP=B$ 【14年21.】

6.施密特正交化：
${\beta }_1={\alpha }_1$

${\beta }_2={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1$

${\beta }_3={\alpha }_3-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_2)}{({\beta }_2,{\beta }_2)}{\beta }_2$

7.定理：
设A是m×n矩阵，若 $r(A)=r<n$，则齐次线性方程组 $Ax=0$ 存在基础解系，并且基础解系由 $n-r$ 个线性无关的解向量构成

s=n-r：齐次线性方程组Ax=0的基础解系中线性无关的解向量的个数 = 自由变量的个数

8.若λ=a是A的二重特征值：
则λ=a对应2个线性无关的特征向量，s=n-r(aE-A)=2
∴r(aE-A)=n-s=3-2=1

9.$\mathrm{s}=\mathrm{n}-\mathrm{r}(\lambda \mathrm{E}-\mathrm{A})$的含义：【14年21.】
方程组$(\lambda E-A)x=0$有s个线性无关的解

齐次线性方程组$(\lambda E-A)x=0$的基础解系有 s=n-r(λE-A)个解向量
∵基础解系的解向量线性无关
∴$(\lambda E-A)x=0$有 s=n-r(λE-A )个线性无关的特征向量

【n为矩阵的列数，即未知数的个数。 [若A的n×m矩阵，则s=m-r]】

9.$A^2=A$ ⇨ ${\lambda }^2=\lambda$

10.完全立方公式：
$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$
$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

例：${\lambda }^3+3{\lambda }^2+3\lambda +1=(\lambda +1{)}^3$

11.特征值的性质：
(4)设$f(x)$为多项式，若${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$为A的特征值，则$f({\lambda }_1),f({\lambda }_2),...,f({\lambda }_n)$为$f(A)$的特征值 【17年5.】

12.行和相等的矩阵的性质：(以三阶矩阵A为例，每行元素之和均为k)
行和k 是A的一个特征值，$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$是对应 行和k 的一个特征向量

5.二次型

1.二次型与二次曲面：
解|λE-A|=0，求A的特征值，判断曲面类型

3.三种变换：
①线性变换：旋转、拉伸
②正交变换：仅旋转，不做拉伸。正交变换不改变向量的长度，||x||=||y||，是一种等距变换。(P为正交矩阵，则$P^T=P^{-1}$)
③配方法：旋转、拉伸，研究正负惯性指数

4.①初等变换不改变矩阵的秩，可能改变特征值、迹、行列式的值。
②相似变换和正交变换，不改变矩阵的特征值。

5.正交变换：
(1)求正交变换 X=QY，或 求正交矩阵Q：
①|λE-A|=0，求所有特征值 λ₁ λ₂ λ₃
②求每个特征值对应的特征向量 是ξ₁ ξ₂ ξ₃
③将特征向量正交化、单位化，得 α₁ α₂ α₃。拼起来得正交矩阵Q=(α₁,α₂,α₃)
(2)$Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right)$，Q的列向量${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$就是矩阵A的对应于特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$的特征向量

正交变换不改变原图形的面积

6.配方法
(1)先凑所有含$x_1$的，再凑所有含$x_2$的，最后剩下$x_3$。令$y_1,y_2,y_3$分别等于这些平方项目
(2)若没有平方项，则创造平方项：令$\{\begin{array}{rl}{x}_1& =y_1+y_2\\ x_2& =y_1-y_2\\ x_3& =y_3\end{array}$

7.若二次型$f(x_1,x_2,x_3)$在正交变换X=PY下的标准型为 $2y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ，即 $P^{T}AP=\left(\begin{array}{ccc}2& & \\ & 1& \\ & & -1\end{array}\right)$

8.正定二次型：
(1)定义：
当且仅当 $x=0$ 时，才有$f=x^{T}Ax=0$。当 $x\ne 0$ 时都有$f=x^{T}Ax>0$，则$f$为正定二次型

(2)性质：
①各阶顺序主子式 ${\Delta }_i>0$
②特征值均为正 ${\lambda }_i>0$

9.二次型
$f\ge 0$，则$f$的负惯性指数为0
反证法：若f负惯性指数不为0，不妨设f=y₁²+y₂²-y₃²，取y₁=0,y₂=0,y₃=1，得f=-1<0。与f>=0矛盾.故f≥0时，f的负惯性指数为0

李烈老师线代押题：
①化二次型为二次型：正交变换法、配方法
②化二次型为标准型的应用：解方程组、证明瑞丽商、矩阵开方
③数二数三：相似对角化

(三) 概率

概率大题：①求概率密度 ②求数字特征 ③求矩估计、最大似然估计

1.一维连续型随机变量X的分布函数：
F ( x ) = P { X ≤ x } = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F(x)=P\{X≤x\}=\int_{-∞}^xf(t)dt F(x)=P{X≤x}=∫−∞x​f(t)dt

P { X > a } = 1 − P { X ≤ a } = 1 − F ( a ) = ∫ a + ∞ f ( x ) d x P\{X>a\}=1-P\{X≤a\}=1-F(a)=\int_a^{+∞}f(x)dx P{X>a}=1−P{X≤a}=1−F(a)=∫a+∞​f(x)dx

2.二维连续型随机变量的概率密度：$P\{(X,Y)\in D\}=\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

例如： F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { X + Y ≤ z } = ∬ x + y ≤ z f ( x , y ) d x d y F_Z(z)=P\{Z≤z\}=P\{X+Y≤z\}=\iint\limits_{x+y≤z}f(x,y)dxdy FZ​(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}=x+y≤z∬​f(x,y)dxdy

3.二维连续型随机变量的联合分布律、联合概率密度
①由f(x,y)求F(x,y)：$F(x,y)={\int }_{-\infty }^y{\int }_{-\infty }^{x}f(x,y)dxdy$

②由F(x,y)求f(x,y)：$f(x,y)=\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}$   [F(x,y)可导或f(x,y)在(x,y)连续]

4.求Z的概率密度：【17年23.(1)】
步骤：
①先求分布函数： F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = . . . F_Z(z)=P\{Z≤z\}=... FZ​(z)=P{Z≤z}=...，代入Z的表达式，对自变量的取值范围进行分类讨论
②再求导：$f_Z(z)=F_Z^{\prime }(z)$

5.正态分布的独立可加性 【12年23(1)】
若X与Y分别服从正态分布$N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$与$N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，且X与Y相互独立。
则$Z=X-Y$也服从正态分布，$Z\sim N({\mu }_1-{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$

6.边缘概率密度：
$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y$ 【注意上下限是代y的取值，x是常数，所以最后得到的是关于x的函数】

$f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}x$ 【例题：880多维随机变量 基础解答(5)Ⅰ】

7.条件概率密度
$f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$

8.判断两变量是否相互独立：积事件的概率 是否等于 事件概率的乘积
P { U ≤ a , X ≤ b } = P { U ≤ a } ⋅ P { X ≤ b } P\{U≤a,X≤b\}=P\{U≤a\}·P\{X≤b\} P{U≤a,X≤b}=P{U≤a}⋅P{X≤b}   【16年22(2)、880数字特征 基础解答(4)Ⅲ】

9.数字特征
(1)期望E(X)：
①离散型： E ( X ) = ∑ k = 1 ∞ x k ⋅ P { X = x k } E(X)=\sum\limits_{k=1}^∞x_k·P\{X=x_k\} E(X)=k=1∑∞​xk​⋅P{X=xk​}

10.抽样分布定理
$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}$$=\frac{1}{{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2=\sum _{i=1}^n(\frac{X_i-\overline{X}}{\sigma }{)}^2$$\sim {\chi }^2(n-1)$ 【17年18.】

11.泊松分布
P { X = k } = λ k k ! e − λ ( k = 0 , 1 , . . . ) P\{X=k\}=\dfrac{λ^k}{k!}e^{-λ} \quad (k=0,1,...) P{X=k}=k!λk​e−λ(k=0,1,...)

12.泊松积分
${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-t^2}dt=\sqrt{\pi }$、${\int }_0^{+\infty }{e}^{-t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$

如何刷套卷

1.3h限时
2.熟悉会做的题先做，易得分的题先做
3.不空题，知道多少写多少
4.如何利用套卷提分？
查漏补缺，从失分的题中找分数
如考了90，则失了60分。目标是120分，还差30分。就从这丢的60分中找哪30分是经过努力可以拿到的分数，太难的就放过。【从丢掉的分数中找哪些分可以提高】
5.套卷不是刷得越多越好，比数量更重要的是质量。精刷，查漏补缺，真题要格外重视。在刷透真题的基础上，再刷模拟卷。

二、专业课

(一) 数据结构

1.算法题：
申请长度为n的辅助数组，并初始化为0

int *A = new int[n];
for(int i = 0 ;i < n; ++i) A[i] = 0;

算法题：
①给出数据结构类型的定义：单链表结点、二叉树结点
②要写函数名、所传参数，如 int Search_k (LinkList L, int k){ 【09年42.】

2.单链表结点的数据类型定义

typedef struct LNode{int data;struct LNode *next;
}LNode,*LinkList;

要表示一个单链表时，只需声明一个头指针L，指向单链表的第一个结点。

LinkList L;

使用LinkList：强调这是一个单链表
使用LNode *：强调这是一个结点

3.图 分类：无向图、有向图

无向边/边：(v , w) ，(m , n) 或 (w , v) , (n , m) 【17年(1)】
有向边/弧：<v , w> , <m , n>

4.合并有序表：
①最好：比较 min ⁡ { m , n } \min\{m,n\} min{m,n}次
②最坏：比较 $m+n-1$ 次

5.结点数 = 1 + 度数   【16年42】
$n_0+n_1+...+n_k=1+0\cdot n_0+1\cdot n_1+...+k\cdot n_k$

6.队列
(1)循环队列

7.B树
(1)B树所有叶子结点都在同一层上 【09年8.】
(2)B树的阶就是子树的最大值m
(3)关键字永远比子树少1个，两棵子树中间夹一个关键字

8.外部排序
(1)最佳归并树：构造严格k叉树，需要补充的虚结点个数：k-1-u，u=(n-1)%(k-1)

(二) 计组

1.查页表在内存中的位置：
进程的PCB中有页表的起始地址，PCB将页表始址放到页表基址寄存器 PTBR中。

2.页表项地址 = 页表起始地址 + 页号×页表项长度
【其中页表项长度已知，只需要知道 页表始址 和 页号】

3.LA 逻辑地址：<虚拟页号，页内偏移量>
PA 物理地址：<物理页框号，页内偏移量>

4.二级页表：查页目录表(一级页表)，由页目录号得到的物理页框号，是对应的二级页表存储的物理页框。在该页框中找到二级页表，再对比得到的物理页框号是页面所在的页框号。拼接得到页面的物理地址。
二级页表要查两次，但二级页表的TLB只查一次，对比的是完整的虚拟页号。

5.页面、页框 大小相等，页框是内存和磁盘之间数据交换的单位
主存块、Cache块 大小相等，块是内存和Cache之间数据交换的单位

6.Cache的三种映射的访存过程：
①全相联映射：高位均是Cache标记，直接查Cache标记
②直接映射：知道共有多少个Cache行，查行号，对比高位Cache标记是否匹配，有效位是否为1
③组相联映射：通过路数，求出共有多少组，查组号，对比高位Cache标记是否匹配，有效位是否为1

7.TLB只有全相联映射、组相联映射

8.$2^m$路组相联映射，有m bit LRU替换算法控制位

9.组相联映射：特定分组，组内任意位置。
映射的时候，每组只放一块，然后就轮到放下一组。【09年14.】

9.浮点数 ←→ 整数：
(1)int→float：当int的有效位大于24位时，int转float会丢失精度
(2)float→int：①当float表示的数，超过了int能表示的最大范围时，float转int会溢出 ②小数部分若丢失，也会丢失精度

10.溢出
(1)溢出判断：乘法指令【20年43.(4)②】
法一(符号)：有符号数，若正数×正数=负数，则溢出
法二(表示范围)：int型的表示范围 [-2³¹,2³¹-1]，unsigned int型的表示范围 [0,2³²-1]

(2)用标志位判断溢出
OF = 1：带符号数溢出
CF =1 ：无符号数溢出

(3)移位运算导致的溢出：无符号数移位不会溢出，只有带符号数移位才可能因为符号位变化产生溢出 【14年45(3)】

11.2ⁿ-1 的二进制表示为 n个1

12.左规(向左规格化)：小数点不动，整体右移一位，阶码+1
右规(向右规格化)：小数点不动，整体左移一位，阶码-1

13.移位运算：
左移1位 $\iff$ 乘2
右移1位 $\iff$ 除2

算数移位：带符号数
逻辑移位：无符号数

14.IEEE754 表示 (特殊情况)
(1)移码为255，尾数全0： $+\infty$或$-\infty$ (正负看符号位)
(2)移码为0，尾数全0：+0 或 -0
(3)移码为255，尾数非0：NaN
(4)移码为0，尾数非0：非规格化数

15.函数调用的机器级表示：
(1)访问局部变量：
①定义的第一个局部变量：[ebp - 4]
②定义的第二个局部变量：[ebp - 8]
③定义的第三个局部变量：[ebp - 12]、[ebp - 0CH]

(2)访问函数调用的参数 (函数括号内的传递参数)：
①第一个参数：[ebp+8]
②第二个参数：[ebp+12]

16.标志位的生成：
(1)CF = C_n⊕sub 【C_n为最高位的进位。加法sub=0，减法sub=1。异或是模二加法】
CF = 1 表示 无符号数溢出

17.计组 09-15年是唐朔飞老师命题，偏硬件。16-23年是袁春风老师命题，软件结合，没有那么硬了。
注释，打 [ ]是袁版，打()是唐版

18.短变长：先扩展，再解释：
无符号整数：零扩展
带符号整数：符号扩展
【A类型→B类型要扩展，是按原来类型A类型进行扩展】

19.x86特性：
①x86 所有的转移指令都是 相对寻址 (MIPS的转移指令也是相对寻址)：转移指令的后一条指令的起始地址 + 偏移量 = 转移的目的地址，求偏移量   【2014年44.】
②x86的存储方式是 小端存储 (可以用所给数的16进制验证)   【2023年44.】

20.地址计算：长的地址 + 短的偏移量(补码/带符号整数)：短的偏移量先进行符号扩展，再相加   【2013年44.(2)①】

21.条件转移指令向后跳转：向后是指地址增大   【2013年44.(1)】

22.指令异常：
(1)指令溢出：溢出是算术运算的现象。无符号数移位不会溢出。   【2014年45.(3)①】

(2)指令缺页：只有访存指令(load、store)可能产生缺页异常   【2014年45.(3)②】

23.Cache缺失次数：只和访存次数有关，与指令没有直接关系，所以要看每条指令的平均访存次数【2013年(4)】

24.指令Cache缺失率：每次执行指令，要先取指令，要访存。也就是先访问指令Cache，看其中有没有要执行的指令。   【2014年45.(2)】

25.从Cache中访问指令的过程、组相联映射的Cache缺失的处理过程 【20年(3)】
(2)Cache缺失处理过程：将 xxxxx(主存块号) 主存块整块放入Cache第x组的任意一行。将Cache行标记设为xxx(主存字块标记tag)，有效位置为1，并修改LRU位。根据块内地址 xxx 从Cache行中取出指令字。

26.(1)Cache总容量 = 标记项容量 + 数据区容量 = Cache块数×(标记项 + 数据)
标记项 = ①tag + ②有效位 + ③脏位(一致性维护位) + ④LRU替换算法控制位

(2)Cache数据区容量 = Cache块数× 每块大小(数据)   【2014年45.(2)】

27.CPU访问主存的过程：
①将逻辑地址转换为物理地址：先查TLB，TLB不命中再查页表，页表不命中则缺页中断，访问磁盘。然后重新访问TLB，进行虚实地址转换。
②根据物理地址读取数据：先访问Cache，Cache不命中则访问主存。

28.寄存器：
(1)MAR位数 = 地址线根数，MDR位数 = 数据线根数，可寻址主存空间大小 = 2^MAR位数×编址单元
(2)指令寄存器IR：
①作用：存放当前指令
②IR位数 = 指令字长 【若指令为不定长，则IR位数 = 最长的指令的位数】
(3)ALU宽度 = 机器字长

29.n位补码可表示的范围：-2^n-1 ~ 2^n-1-1
8位补码可表示的范围：-2⁷ ~ 2⁷-1 ，即 -128 ~ 127

30.RISC与CISC
(1)RISC大多数指令在一个时钟周期内完成 【09年17.】
(2)RISC的内部寄存器数量相对CISC多 【09年17.】
(3)RISC采用硬布线控制器，特点是：指令执行速度快，指令功能的修改和扩展困难【09年19.】

31.带符号整数加/减运算、无符号正数加/减运算，能利用同一个加法器辅助电路实现的理由：【11年43(3)】
①加法器只负责对二进制数进行计算并产生标志，运算前并不区分有无符号。
②加法a+b可用加法器直接实现。减法a-b = a + [-b]_补可转化为加法进行计算。[-b]_补为[b]_补全部按位取反，再加1。

32.无符号整数加/减运算的结果溢出判断：
①OF = C_n⊕C_n-1 = 1，即加法器完成加法操作时，最高位的进位和次高位的进位不同，则无符号整数溢出
②加法器两个输入端的符号相同，但输出结果(和)与其符号不同

带符号整数加/减运算的结果溢出判断：CF = C_n⊕sub = 1 (加法sub = 0，减法sub = 1)

(三) 操作系统

1.开中断指令与关中断指令都是特权指令，只能在核心态下执行，不能在用户态下执行。故用户程序不能使用开/关中断指令。

2.PV操作：
(1)读者-写者问题：读读不互斥，读写、写写互斥

3.页表的最大长度：页表项数×页表项大小 = $2^{页号位数}$×页表项大小 【13年大题】

4.可用 “无符号右移 <<<” 和 “按位与 &” 操作，取出某几个二进制位的值

【13年大题】
页目录号的表达式：(LA>>>22) & 0x3FF
页号的表达式：(LA>>>12) & 0x3FF

5.访问虚拟地址的时间：【09年大题】
①映射为物理地址的时间：访问TLB、访问页表、处理缺页+重新访问TLB
②访问内存的时间

6.操作系统关心的是文件的物理结构(文件分配方式)：连续分配、链接分配、索引分配
①连续分配方式中，FCB的内容：
文件名、文件起始块号、文件长度

7.文件系统：
①UFS文件系统：Unix操作系统的文件系统，使用索引结点 inode【在Unix⽂件系统中，每个⽂件的目录项对应⼀个inode结点，而inode结点的总数是有上限的(inode区大小 / inode结点大小 = inode个数)，故该文件系统能存储的文件个数也有上限。】
②FAT文件系统：显式链接。文件分配表FAT固定存储在磁盘的某个块中。开机时就去该固定位置将整个FAT读入内存
③NTFS文件系统：Windows的磁盘文件系统

FAT32、NTFS、exFAT

8.文件目录的两种实现形式：
①每一个目录项：一个完整的FCB
②每一个目录项：文件名 + 索引结点编号 (inode结点：存除文件名外的其他信息 + 混合索引表)

在Unix文件系统UFS中，索引节点inode固定地集中存放在连续的某几个块，称为inode区，是一个数组。任何一个文件都对应一个索引结点。

9.访问某个文件的过程：
①根据目录文件，将inode读入内存
②根据inode中的混合索引表，将文件所在的磁盘块读入内存

10.索引结点：
①存放在磁盘分区的固定位置，磁盘块号是固定的：inode区
②每个索引结点(inode结点)的大小是固定的。可以通过inode区起始块号 + 索引结点的编号，随机存取某指定编号的索引结点

11.文件采用连续分配方式的优点：
磁盘寻道时间短，支持随机访问，效率高   【11年46.(1)】

12.FCB集中存放的优点：
随机查找文件名时，只需访问FCB对应的磁盘块。可减少磁盘I/O次数、磁头移动次数   【11年46.(2)】

(四) 计网

1.曼彻斯特编码：
以太网采用曼彻斯特编码，曼彻斯特编码的数据率：波特率一半

若以太网波特率为40MBaud，则数据率为：20Mb/s

2.基带、宽带(频带)
基带信号：将数字信号1和0直接用两种不同的电压表示，然后送到数字信道上传输 (基带传输)
宽带信号：将基带信号进行调制后形成频分复用模拟信号，然后送到模拟信道上传输 (宽带传输、频带传输)

3.编码与调制
编码：→数字信号
调制：→模拟信号

4.各层的主要功能：
①LLC子层：给高层提供服务与接口、建立和释放数据链路层的逻辑连接、差错控制、给帧加序号
②MAC子层：组帧和拆帧、比特差错检测、寻址
③物理层：信号的编码和译码、比特的接收与传输

LLC子层的作用：给帧加序号

5.曼彻斯特编码：速度传输率是码元传输率的一半

6.10Base T ，Base是指基带传输，数字信道

7.Internet和internet：
①Internet是因特网，internet是互联网
②因特网是最大的互联网
③广域网再大，仍然是单一网络。而互联网是多个网络互联。[∴因特网(多个网络互联)比最大的广域网(仍然是一个网络)更大，因为还互联了一些小的。]

8.报文段-IP数据报/IP分组-数据MAC帧-比特流

9.PPP协议，不可靠、不编号、不确认

10.以太网的特点(9个)
(1)以太网MAC帧的数据部分：46B~1500B
①进行填充：小于46B (2EH)
②进行分组：大于1500B

46B=2EH，若IP数据报总长度不足46B=2EH，则经过快速以太网传输时需要进行填充 [2012年(1)③]

11.交换机的自学习算法：无对应转发表表项，则会向除源端口外的其他端口广播 。并将来源MAC地址和端口写入转发表。

12.片偏移，每个分片大小是8B的整数倍。指的是分片的数据部分大小是8B的整数倍，不是加了首部后分片的总长度。

13.与255相与，值不变。与0相与，全为0。不必写成二进制进行与运算，可以简化计算。

14.TCP拥塞控制：
若下次翻倍后会超过门限值ssh，则取门限值作为下一轮的拥塞窗口大小，即 cwnd=ssh；

例如：门限值是6，则接收窗口变化应当是：1-2-4-6-7-8-9-…

15.使用UDP数据报封装的应用层协议：DNS、RIP
使用TCP封装的应用层的协议：BGP、FTP、SMTP、HTTP

16.主机和本地域名服务器中有高速缓存，可能存储了要访问的网站的域名与IP地址的映射，就不必再发出DNS查询请求。

17.GBN：累计确认：回复ACKn，则代表n及n以前的都正确接收
SR：没有累计确认的特性。一个一个确认。

18.数据链路层的滑动窗口 和 TCP的滑动窗口的区别：TCP的滑动窗口大小可变，而数据链路层的滑动窗口是固定死的，大小不可变。

19.主机封装DHCP发现报文的IP分组的源IP地址和目的IP地址？
源IP地址：0.0.0.0；目的IP地址：255.255.255.255

20.IP组播的MAC地址：
前24位 01-00-5E + 第25位是0 + 后23位用IP地址代替

21.HTTP 持久连接 非流水线方式：TCP连接建立后不断开，传web页面一个RTT，传每个元素一个RTT

22.路由表表项：[目的网络IP地址，子网掩码，下一跳IP地址，接口 ]
默认路由的目的网络IP地址和子网掩码 都是 0.0.0.0

23.TCP连接建立过程中，从哪一次开始可以发送数据？
第三次握手 时可以携带数据。

24.网络 vs 网段
①网络：同一个广播域，路由器的同一个端口 + 子网掩码与网络号相与的结果相同 【同一个广播域，同一个路由器端口，不一定是同一个网络，可能接错了。如16年39.】
跨网络，则MAC地址发生变化。
②网段：同一个冲突域，交换机的同一个端口

25.MTU指该网段限制的数据部分的最大长度，不包含首部+尾部。
IP数据报的片偏移字段：仅指数据部分的偏移

27.生存时间TTL：是减去经过的路由器个数，而不是链路费用 (路径长度)

29.确认帧总由数据帧捎带，则计算信道利用率时，$t_2=t_1$，$T=t_1+RRT+t_2$

30.TCP流量控制：
seq、ack：以字节为单位 【16年(3)】

31.TCP报文段、IP数据报、MAC帧的题目：
(1)第一步，①将IP地址翻译为16进制，找到对应位置；②MAC地址找到对应位置。
(2)TCP首部长度：数据偏移字段，以4B为单位
(3)UDP数据报的总长度：以1B为单位。UDP首部为8B。

32.数据传输率的单位：将KB/s 化成 b/s，kb/s，Mb/s 【16年(3)②】

33.浏览器访问某域名所经历的详细过程：【2021年(2)(3)】
①DNS→IP地址：递归查询/迭代查询
②IP地址→MAC地址：ARP表有则直接转换。没有，则 ARP请求分组(广播)→，ARP响应分组(单播)←
③TCP连接建立 (三次握手)
④HTTP请求：html页面 + 图像等元素

34.十六进制→二进制→十进制的转换：
A = 10 = 1010B
B = 11 = 1011B
C = 12 = 1100B
D = 13 = 1101B
E = 14 = 1110B
F = 15 = 1111B

35.线路效率 = $\frac{吞吐率}{信道带宽}$

36.100Base-T：100Mb/s

37.套接字 Socket = (主机IP地址，端口号)

38.最小帧长 = RTT×数据传输率
以太网帧的最小帧长：64B

39.若有nbit主机号，则：
(1)总可用的主机IP地址个数为：$2^n-2$
$n$位主机号，则可分配的主机IP地址有 $2^n-2$ 个。(减去主机号全0的本网络、主机号全1的广播地址)【10年37.】
(2)还可分配的主机IP地址个数为：$2^n-2-$已分配的主机数$-$已分配的路由器端口数

40.若A到B要经过多条链路，记得 每条链路都有发送时延(传输时延)

41.数据交换方式：
(1)报文交换：报文交换耗时为整数，总耗时长
(2)分组交换：分组交换，链路上有n个路由器，则多n个零头。总耗时短

42.要构造以太网数据帧时，用什么协议确定目的MAC地址？   【11年47.(2)】
ARP协议

每台主机都设有一个ARP高速缓存，用来存放本局域网上各主机和路由器的IP地址到MAC地址的映射表，称ARP表。以目的IP地址对照ARP表，若有对应MAC地址，则用该MAC地址作为目的MAC地址。若没有，则广播 ARP请求分组 FF-FF-FF-FF-FF-FF

咸鱼学长传记

咸鱼传记：
1.张鸿林，1994年生，云南普洱人，少数民族。15年大学毕业，18年二战考入北大软微（24岁），做操作系统。
2.本科：北京理工大学-软件工程，2012-2015。大学期间很浪，三个舍友都出国留学了，自己只能去打工。2015年毕业做java手游开发(不良人)，月薪1w，年薪12w，但当时手游大火，年终奖发了24w。工作了一年很迷茫打算考研。
3.一战：16年8月辞职，复习了4个多月，没考上。一战数学56分，英语57分
4.二战：工作的钱花光了，不好意思向家里要钱，打算边工作边考研。被老父亲制止，说目光要放长远，目标是要考上研而不是省钱。脱产复习了一年，报了数学线下班，中间周期性焦虑，觉得自己考不上。
上考场时的复习进度：①408：只做了真题，单科书大题只做了一半。②数学：真题做了06-17年
5.二战成绩：①软微自命题：143 ②数学：117 ③英语：58 ④政治68 总分：386。二战上岸北大软微
6.入学前，风华招人兼职讲操作系统。发现还蛮喜欢讲课，就正式进入了王道。
7.喜欢音乐，初始时以五月天的《咸鱼》命名了自己的网名。

三、英语

(一) 完型

(二) 阅读

看题型：细节题、主旨题、推断题。答案都在文中能找到出处。

(三) 新题型

1.行文思路：①现象 → ②问题 → ③原因 →④解决方案 【13年新题型(七选五)】

2.段首、段尾、空前、空后
①小标题—段落中心
②排序题-关注首尾逻辑
③七选五-关注上下句逻辑：

3.排序首段：注意倒装句

In his 1936 work How to Win Friends and Influence People, Dale Carnegie wrote:…
该句的his是指代Dale Carnegie，是倒装句，句内指代。而不是指代上文。

4.末段作用：总结全文、点明主旨、深化中心、呼应开头、发出呼吁

(四) 翻译：划分句子成分

1.时间状语提至句首
2.注意不要将 短小的后置定语 错认为是主句的谓语和宾语。【15年：immigrants (bound for territory) crossed the Atlantic.】

1.谢一帆8分步骤：
不要直接写，先打草稿
①一个一个小短句写下来，按照顺序组起来
②根据文义把某些单词的意思改写，即意译

晶婷老师：前期训练需要先打草稿调整，只有训练的多了，考场上才能不打草稿直接出答案。

2.技巧：
①增译、删译
②补充主语
③根据语境，将某些单词的词意进行意译
④定语从句，可以拆分成两个句子。该名词在前一小句中作宾语，在后一小句中作主语。

3.中文和英文思维方式的区别：
①中文多主动，英文多被动
②中文多重复，英文多省略
③中文多短句，英文多长句
④英文定状后置，中文定状前置。(时间状语、地点状语前置)

(五) 作文

整理优秀的、通用的句子。分为 段首、段中、段尾，分别都要整理句子。
(1)小作文：书信为主：模板+结合题目
(2)大作文：英一图画：模板+扣题句

四、政治

(一) 马原

1.金融资本形成的主要途径：①金融联系 ②资本参与 ③人事参与

(二) 毛中特

1.五次国内主要矛盾的变化 (毛中特&史纲 联合考察)

时间	国内的主要矛盾
社会基本矛盾	生产力与生产关系的矛盾、经济基础和上层建筑的矛盾
①新民主主义前期(1949-1952) 完成新民主主义遗留任务	人民大众同帝国主义、封建主义和国民党反动派残余势力之间的矛盾
②新民主主义后期(1952-1956) 社会主义改造	①资本主义和社会主义两条道路的矛盾 ②资产阶级和工人阶级两个阶级的矛盾
③社会主义建设时期 中共八大(1956)	①人民对于建立先进的工业国的要求同落后的农业国的现实之间的矛盾 ②人民对于经济文化迅速发展的需要，同当前经济文化不能满足人民需要的状况之间的矛盾
④十一届六中全会(1981) 《关于建国以来党的若干历史问题的决议》	人民日益增长的物质文化需要同落后的社会生产之间的矛盾
⑤新时代(2012)	人民日益增长的美好生活需要和不平衡不充分的发展之间的矛盾

2.四个历史时期

	新民主主义革命	社会主义革命和建设	改革开放和社会主义现代化建设 新时期	新时代
时间	1919-1949	1949-1978	1978-2012	2012-至今
主要任务	创造了根本社会条件	奠定根本政治前提和制度基础	提供充满新的活力的体制保证和快速发展的物质条件	提供了更为完善的制度保证、更为坚实的物质基础、更为主动的精神力量

3.毛泽东思想的发展：【肖八(三)6.】

毛泽东思想的发展	标志	著作
萌芽	大革命时期(1925-1927)，毛泽东关于新民主主义革命的基本思想的提出	《中国社会各阶级的分析》(1925)
初步形成	在理论上阐述了中国革命的新道路：农村包围城市、武装夺取政权 (1928)	《反对本本主义》（1930）
走向成熟	科学地阐述了中国新民主主义革命的基本理论、基本路线、基本纲领，论证了党在民主革命时期的政策和策略 (1935)	《中国革命和中国共产党》(1939)

4.帽子题：
①党的生命线和根本工作路线：群众路线
中国共产党的根本政治立场：人民立场
勇于自我革命 是 党最鲜明的品格
②党执政兴国的第一要务：发展
③国家繁荣发展的必由之路：开放
④人民幸福之基、社会和谐之本：民生
⑤决定当代中国命运的关键一招：改革开放
⑥实现中华民族伟大复兴的关键一步：全面建成小康社会
⑦思想建设：基础性建设
政治建设：根本性建设

五位一体：经济、政治、文化、社会、生态
四个全面：全面建成社会主义现代化国家、全面深化改革、全面依法治国、全面从严治党

(三)习思想

1.国家安全是民族复兴的根基，社会稳定是国家强盛的前提
2.发展经济的着力点：实体经济
3.习近平法治思想，是全国依法治国的根本遵循和行动指南

(四) 史纲

1.改革开放和社会主义现代化建设时期：为实现中华民族伟大复兴提供充满活力的体制保证和快速发展的物质条件
2.抗日战争的伟大胜利，是中华民族从近代以来陷入深重危机走向伟大复兴的历史转折点

学习方法

1.学累了的休息方式：4s

①speak：和同学交流复述学过的内容 (费曼学习法)
②switch：学累了就换一科，大脑就能得到休息
③sports：运动。能增加神经元数量
④sleep：睡觉时大脑会处理废物，组织信息，加强记忆。 (空卡建议：睡前30分钟复习，别看手机)

2.学习感悟

1.学习的本质是重复，是温故而知新
2.实在不会做，照着答案边做边抄。抄一遍，效果会很好。【不会做，就照答案抄。抄着抄着就有感觉了】对于完全没有思路的题，只用眼睛看两遍答案是学不会的，过一周就全忘记了。得抄写答案的解答过程。
3.看起来越难的东西，其实考的越简单，套路越少。
看起来越简单的东西，其实考的越难，套路很多。

3.对抗焦虑