图论中的两种递推计数法

递推计数法

生成树计数:

τ ( G ) = τ ( G − e ) + τ ( G ⋅ e ) \tau(G) = \tau(G-e)+\tau(G\cdot e) τ(G)=τ(Ge)+τ(Ge)

G的生成树的颗数,可以分为两类:包含边e的为 τ ( G ⋅ e ) \tau(G\cdot e) τ(Ge),不包含边e的为 τ ( G − e ) \tau(G - e) τ(Ge)

生成树的计数还可以通过计算Laplace矩阵任意元素的代数余子式求得。

色多项式计数:

P k ( G ) = P k ( G − e ) − P k ( G ⋅ e ) P_k(G) = P_k(G-e)-P_k(G\cdot e) Pk(G)=Pk(Ge)Pk(Ge)

G-e的k着色方案可以分为两类:e的两个端点着不同色的为 P k ( G ) P_k(G) Pk(G), e的两个端点着相同色的为 P k ( G ⋅ e ) P_k(G \cdot e) Pk(Ge)

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