第四十二天 | 背包问题理论

二维:

1.dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取,放进容量为j的背包,价值总和最大是多少

2.递归公式: dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

3.初始化:

        首先从dp[i][j]的定义出发,如果背包容量j为0的话,即dp[i][0],无论是选取哪些物品,背包价值总和一定为0。

        那么很明显当 j < weight[0]的时候,dp[0][j] 应该是 0,因为背包容量比编号0的物品重量还小。当j >= weight[0]时,dp[0][j] 应该是value[0],因为背包容量放足够放编号0物品。

        其他位置下标初始-1,初始-2,初始100,都可以

4.遍历顺序:先物品再背包或者先背包再物品

5.打印dp

滚动数组:滚动数组了,就是把二维dp降为一维dp

如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上,表达式完全可以是:dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);

与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上,不如只用一个一维数组了,只用dp[j](一维数组,也可以理解是一个滚动数组)。

1.在一维dp数组中,dp[j]表示:容量为j的背包,所背的物品价值可以最大为dp[j]。

2.递推公式:此时dp[j]有两个选择,一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j],即不放物品i,一个是取dp[j - weight[i]] + value[i],即放物品i,指定是取最大的,毕竟是求最大价值

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

3.初始化:

dp[j]表示:容量为j的背包,所背的物品价值可以最大为dp[j],那么dp[0]就应该是0,因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。

那么dp数组除了下标0的位置,初始为0,其他下标应该初始化多少呢?

类似于从二维数组的i = 1层分析

看一下递归公式:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数,如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。

这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值,而不是被初始值覆盖了

那么我假设物品价值都是大于0的,所以dp数组初始化的时候,都初始为0就可以了。

4.遍历顺序:

只能从后先前:从前向后会将同一物品反复计算。

只能先物品,先背包的话没有意义。(结合dp数组含义自己模拟一下)

如果遍历背包容量放在上一层,那么每个dp[j]就只会放入一个物品,即:背包里只放入了一个物品。

5.打印dp

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