每周题解：牛的旅行

题目描述

牛的旅行

农民John的农场里有很多牧区。有的路径连接一些特定的牧区。一片所有连通的牧区称为一个牧场。但是就目前而言，你能看到至少有两个牧区不连通。

现在，John想在农场里添加一条路径 ( 注意，恰好一条 )。对这条路径有这样的限制：一个牧场的直径就是牧场中最远的两个牧区的距离 ( 本题中所提到的所有距离指的都是最短的距离 )。

考虑如下的两个牧场，图１是有 $5$ 个牧区的牧场，牧区用*表示，路径用直线表示。每一个牧区都有自己的坐标：
在这里插入图片描述

图１所示的牧场的直径大约是 $12.07106$ , 最远的两个牧区是 $A$ 和 $E$ ，它们之间的最短路径是 $A\to B\to E$ 。这两个牧场都在John的农场上。John将会在两个牧场中各选一个牧区，然后用一条路径连起来，使得连通后这个新的更大的牧场有最小的直径。

注意，如果两条路径中途相交，我们不认为它们是连通的。只有两条路径在同一个牧区相交，我们才认为它们是连通的。

现在请你编程找出一条连接两个不同牧场的路径，使得连上这条路径后，所有牧场（生成的新牧场和原有牧场）中直径最大的牧场的直径尽可能小。

输入格式

第 1 行：一个整数 $N$ ( $1 \leq N \leq 150$ ), 表示牧区数；
第 2 到 $N + 1$ 行：每行两个整数 $X$ ， $Y$ ( $0 \leq X ， Y \leq 100000$ )，表示 $N$ 个牧区的坐标，每个牧区的坐标都是不一样的。
第 $N + 2$ 行到第 $2\times N+1$ 行：每行包括 $N$ 个数字 ( $0$ 或 $1$ ) 表示一个对称邻接矩阵。例如，题目描述中的两个牧场的矩阵描述如下：

  A B C D E F G H 
A 0 1 0 0 0 0 0 0 
B 1 0 1 1 1 0 0 0 
C 0 1 0 0 1 0 0 0 
D 0 1 0 0 1 0 0 0 
E 0 1 1 1 0 0 0 0 
F 0 0 0 0 0 0 1 0 
G 0 0 0 0 0 1 0 1 
H 0 0 0 0 0 0 1 0

输出格式

只有一行，包括一个实数，表示所求答案。数字保留六位小数。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

22.071068

算法思想

根据题目描述，测试样例可以得到这样一张图：
在这里插入图片描述
其中 $A, B, C, D, E$ 属于一个牧场， $F, G, H$ 属于另外一个牧场。现在要将两个牧场用一条路径连起来，使得连通后这个新的更大的牧场有最小的直径。

用一条路径连接后，要求所有牧场（生成的新牧场和原有牧场）中直径最大的牧场，使其直径尽可能小。那么直径最大的牧场无非有两种情况：

最大牧场是原有牧场
最大牧场是生成的新牧场

可以确定结果一定是大于等于所有原有牧场的直径的，并且生成的新牧场的直径必须尽可能的小，所以答案应该取这两者的最大值。

那么算法的基本思想：

首先求出原有牧场中，任意两个的牧区之间的最短距离，可以用「Floyd」算法完成
然后求出在同一牧场中，到牧区 $i$ 的最远距离 $ma x d [i]$ ，同时打擂台求其中的最大值 $res 1$ ，就是原有牧场的直径最大值。
其次，枚举一条连接两个不同牧场的路径，求出连接后的牧场直径，即 $ma x d [i] + x + ma x d [j]$ ，其中 $i$ 和 $j$ 属于不同牧场， $x$ 表示牧区 $i$ 和 $j$ 的距离，那么其中最小的就是生成的新牧场的直径 $res 2$ 。
最后， $res 1$ 和 $res 2$ 的最大值就是答案。

时间复杂度

本题的核心是使用Floyd算法计算任意两个牧区之间的最短路，时间复杂度为 $O(n^3)$ 。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<double,double> PDD;
const int N = 155;
const double INF = 1e20;
int n;
PDD p[N];
char g[N][N];
double d[N][N], maxd[N]; //maxd[i]表示在一个牧场中距离牧区i的最远距离
double get_dis(PDD a, PDD b)
{double dx = a.first - b.first;double dy = a.second - b.second;return sqrt(dx * dx + dy * dy);
}
int main()
{cin >> n;for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> p[i].first >> p[i].second;for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> g[i];//初始化状态数组for(int i = 0; i < n; i ++)for(int j = 0; j < n; j ++)if(i == j) d[i][j] = 0; //同一个点else if(g[i][j] == '1') d[i][j] = get_dis(p[i], p[j]); //相邻计算距离else d[i][j] = INF;//Floyd计算任意两点之间的距离for(int k = 0; k < n; k ++)for(int i = 0; i < n; i ++)for(int j = 0; j < n; j ++)d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);double res1 = 0;//计算每个牧区连通的最远牧区的距离for(int i = 0; i < n; i ++){for(int j = 0; j < n; j ++){if(d[i][j] < INF / 2) //i和j是连通的maxd[i] = max(maxd[i], d[i][j]);}res1 = max(res1, maxd[i]); //求所有牧场的最大直径}//枚举一条连接两个不同牧场的路径double res2 = INF; //求连通两个牧场后，直径的最小值for(int i = 0; i < n; i ++)for(int j = 0 ; j < n; j ++){if(d[i][j] > INF / 2) //两个牧区不连通{double x = get_dis(p[i], p[j]);res2 = min(res2, maxd[i] + x + maxd[j]);}}printf("%.6lf", max(res1, res2));return 0;
}