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本文涉及的基础知识点

C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例包括课程视频排序

LeetCode891. 子序列宽度之和

一个序列的宽度定义为该序列中最大元素和最小元素的差值。
给你一个整数数组 nums ，返回 nums 的所有非空子序列的宽度之和。由于答案可能非常大，请返回对 10⁹ + 7 取余后的结果。
子序列定义为从一个数组里删除一些（或者不删除）元素，但不改变剩下元素的顺序得到的数组。例如，[3,6,2,7] 就是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的一个子序列。
示例 1：
输入：nums = [2,1,3]
输出：6
解释：子序列为 [1], [2], [3], [2,1], [2,3], [1,3], [2,1,3] 。
相应的宽度是 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2 。
宽度之和是 6 。
示例 2：
输入：nums = [2]
输出：0
提示：
1 <= nums.length <= 10⁵
1 <= nums[i] <= 10⁵

排序+前缀和

对nums排序，长度为1的子序列宽带是0，故无需枚举。通过i枚举最大元素，如果有多个最大元素，以原始下标大的为准；通过j枚举最小元素，如果有多个以原始下标小的为准。排序时间复杂度：O(nlogn)，枚举时间复杂度：O(nn)。
利用前缀和优化：
cnt(i) = $KaTeX parse error: Expected group after '^' at position 42: \dotsums[k])*2^i-k-1^̲$ = $KaTeX parse error: Expected group after '^' at position 24: …0}^{i-1}2^i-k-1^̲$ *nums[i] - $\sum_{k=0}^{i-1}2^i-k-1^nums[k]$
= f(i-1)nums[i]-g(i-1)
f(i) =2⁰+2¹+ $\cdots$ + 2ⁱ f(0)=1 f(i)=2f(i-1)+1
g(0)=nums[0] g(i) = g(i-1)*2+ nums[i]
时间复杂度：O(n)

代码

核心代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD){}C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const{return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);}C1097Int& operator+=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int& operator-=(const C1097Int& o){m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator-(const C1097Int& o){return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);}C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const{return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;}C1097Int& operator*=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const{return *this * o.PowNegative1();}C1097Int& operator/=(const C1097Int& o){*this /= o.PowNegative1();return *this;}bool operator==(const C1097Int& o)const{return m_iData == o.m_iData;}bool operator<(const C1097Int& o)const{return m_iData < o.m_iData;}C1097Int pow(long long n)const{C1097Int iRet = 1, iCur = *this;while (n){if (n & 1){iRet *= iCur;}iCur *= iCur;n >>= 1;}return iRet;}C1097Int PowNegative1()const{return pow(MOD - 2);}int ToInt()const{return m_iData;}
private:int m_iData = 0;;
};class Solution {public:int sumSubseqWidths(vector<int>& nums) {sort(nums.begin(), nums.end());C1097Int<> ans, f, g;for (const auto& n : nums) {ans += f * n - g;f = f * 2 + 1;g = g * 2 + n;}return ans.ToInt();}};

单元测试

		vector<int> nums;TEST_METHOD(TestMethod11){nums = { 2,1,3 };auto res = Solution().sumSubseqWidths(nums);AssertEx(6, res);}TEST_METHOD(TestMethod12){nums = {2 };auto res = Solution().sumSubseqWidths(nums);AssertEx(0, res);}

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