误差

设$x$为准确值$,x^{\ast }$为$x$的一个近似值，称$e^{\ast }=x^{\ast }-x$为近似值的绝对误差，简称误差.

这样定义的误差$e^{\ast }$可正可负，当绝对误差为正时近似值偏大，叫做强近似值；当绝对误差为负时近似值偏小，叫做弱近似值。

误差限

实际情况下，通常无法算出准确值$x$,也不能算出误差$e^{\ast }$的准确值，只能根据测量工具或计算情况估计出误差的绝对值不超过某正数${\epsilon }^{\ast }$，也就是误差绝对值的一个上界。${\epsilon }^{\ast }$叫做近似值的误差限，它总是正数。

例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 $x$，读出和该长度接近的刻度$x^{\ast },x^{\ast }$是$x$的近似值，它的误差限是 0.5，于是$|x^{\ast }-x|⩽0.5$；如读出的长度为 765，则有$|765-x|⩽0.5$。 从该不等式仍不知道准确的$x$是多少 ，但知道 764. 5$⩽x⩽765.5$，说明$x$在区间[764.5,765.5]上。

对于一般情形，$|x^{\ast }-x|⩽{\epsilon }^{\ast }$,即$x^{\ast }-{\epsilon }^{\ast }⩽x⩽x^{\ast }+{\epsilon }^{\ast }$,这个不等式有时也表示为
$$x=x^{\ast }\pm {\epsilon }^{\ast }$$

小结

误差

$$e^{\ast }=x^{\ast }-x$$

误差限

$$|x^{\ast }-x|⩽{\epsilon }^{\ast }$$