基于聚类的不规则Pareto前沿多目标优化自适应进化算法（CA-MOEA）

一、算法简介

1. 简介：

   现有的多目标进化算法（moea）在具有规则Pareto前沿且Pareto最优解在目标空间上连续分布的多目标优化问题（MOPs）上表现良好。当Pareto前沿不连续或退化时，现有的大多数算法都不能得到很好的结果。为了解决这一问题，本文提出了一种基于聚类的自适应MOEA （CA-MOEA）算法来求解具有不规则Pareto前沿的MOPs。

   其主要思想是自适应地产生一组聚类中心，以指导每一代的选择，保持多样性和加速收敛。研究结果证明了CA-MOEA在多目标优化中的竞争力，特别是对于不规则Pareto前沿问题。此外，CA-MOEA在碳纤维成形过程中拉伸参数的优化方面表现良好。

2. 现有算法的局限性：

   • 基于指标的MOEAs： 在不规则Pareto前沿情况下，非Pareto最优解可能会对指标贡献更大，导致选择偏差。
   • 基于分解的MOEAs： 需要预先定义一组权重向量，但在不规则Pareto前沿情况下，大量权重向量会被浪费，导致性能下降。
   • 基于Pareto支配的MOEAs： 多样性维护机制（如拥挤距离）在不规则Pareto前沿情况下可能会失效，导致丢失重要的解。
   • 协同进化MOEAs（CMOEAs）： 处理具有复杂相互依赖性的问题时，决策变量分解变得困难，且保持种群多样性也面临挑战。

3. 聚类：

   • 划分方法（Partitioning Methods）：例如：k-means、k-中心点（k-centroid）及其变体。这类方法需要预先定义聚类中心，且结果严重依赖于初始聚类中心的选择。
   • 基于密度的方法（Density-Based Methods）：例如：基于密度的空间聚类应用噪声（DBSCAN）。这类方法将高密度区域视为簇，并将其与低密度区域分开。然而，低密度区域中的个体可能对优化具有重要意义，因此这类方法不适用于处理不规则Pareto前沿的问题。
   • 基于网格的方法（Grid-Based Methods）：例如：基于统计信息网格的方法。这类方法通常不能独立工作，而是用于减少其他聚类算法的计算时间。
   • 基于模型的方法（Model-Based Methods）：这类方法采用某种模型并试图找到最适合该模型的数据。其主要缺点是计算量大。
   • 层次聚类方法（Hierarchical Clustering Methods）：包括**自底向上（bottom-up）和自顶向下（top-down）**两种方法。
     • 自底向上方法首先将每个数据点视为独立的簇，然后根据某种链接准则逐步合并簇，直到所有簇合并为一个。
     • 自顶向下方法则相反，首先将所有数据点视为一个簇，然后逐步将其划分为更小的簇。它不需要指定聚类的数量，也不假设数据是正态分布。

4. 采用Ward链接准则：使同一簇内的误差平方和最小化，而使不同簇之间的误差最大化，最有可能将非支配前沿的解均匀地划分为所需数量的组。

   任意两个簇之间的距离使用如下公式计算：

选择距离最小的两个簇将其合并，并计算聚类中心：计算每个目标上的值，每个解在该目标上的值的和/该簇中解的个数

D,E合并后的聚类中心G（(8+10)/2,(4+2)/2）====> （9,3）

二、算法流程

​ CA-MOEA采用自底向上的层次聚类方法

1. 算法流程：

   N种群大小，g代数，M目标的数量，V决策变量数，B约束条件，Fl从1,2,3到l层的所有解的集合

   （1）随机初始化父代种群P，大小为N。

   （2）通过采用模拟二元交叉（SBX）和多项式突变产生大小为N的子代群体Q，采用精英保留机制合并父代种群P和子代种群Q为整体种群P（2N）,交叉概率pc = 1.0，突变概率pm = 1/V。

   （3）对P进行快速非支配排序。将组合种群P中的2N个解排序到L个非支配前沿f1， f2，…，fL。从前往后选择N个解。

   （4）如果选到l层，Fl的大小大于N，而选到l-1层，Fl的大小小于N，则选出l层的前K=N-|Fl-1|个解。

   （5）计算聚类中心。

   （6）基于聚类的选择。

   （7）选则的解数量到N个或者迭代次数到g，结束循环。

2. 主循环
   

3. 计算聚类中心：

   将fl层中的解使用如下公式归一化到**[0,1]**：
   

   使用层次聚类算法（Ward 链接准则）将第l层的个体划分为 K个簇：

   初始状态，每个个体作为一个独立的簇。根据 Ward 链接准则，合并最相似的两簇，直到达到预定的簇数量 K，计算生成的K个簇的聚类中心。

4. 基于聚类的自适应环境选择：

   个体分配：

   • 计算每个个体与各个聚类中心之间的欧氏距离。
   • 将每个个体分配到与其距离最近的聚类中心。

   个体选择：

   初始化集合：

   • 初始化三个集合 T_1、T_2 和 T_3。
   • T_1用于存放每个簇中距离聚类中心最近的个体。
   • T_2用于存放nCj>=3时，每个簇中除最近个体外的其他个体。
   • T_3用于存nCj<3时，每个簇中除最近个体外的其他个体。

   个体选择：

   ​ 依次从T1,T2,T3中选取解，直至选满K个为止。