每天五分钟机器学习:凸函数

一、凸函数的定义:何为“凸”?

在数学上,凸函数的概念源于几何直观——想象一个平面上的曲线,如果在这条曲线上的任意两点之间连线段总是位于曲线的下方(或恰好与曲线重合),则这条曲线所对应的函数即为凸函数。更正式地,对于定义在实数集(或某个子集)上的函数f(x),如果对于所有x₁, x₂∈定义域,且λ∈[0,1],都有:

f(λx₁ + (1-λ)x₂) ≤ λf(x₁) + (1-λ)f(x₂)

则称f(x)为凸函数。这里,λ是一个介于0和1之间的实数,它代表了x₁和x₂之间的一个加权平均值。上述不等式表明,函数值在两点间的任何差值都不会超过这两点函数值的加权平均值,这正是凸函数的核心特征。

值得注意的是,如果上述不等式中的“≤”改为“<”,则称为严格凸函数,意味着在两点间的插值严格小于这两点函数值的加权平均值,除非x₁=x₂。

二、凸函数的几何直观与图像特征

几何直观:从几何角度来看,凸函数的图像(在二维平面上)表现为一个“向上隆起”的形状,没有“凹陷”的部分。这意味着,如果你沿着函数图像画一条直线,连接图像上的任意两点,这条直线要么完全位于图像上方,要么与图像相切于某一点。

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