曲面的共形变换

共形变换

曲面 S , S ~ S,\tilde{S} S,S~, σ : S → S ~ \sigma:S\to\tilde{S} σ:SS~是光滑双射。如果对于 S S S上任意两条相交曲线, σ \sigma σ保持两线夹角,则称 σ \sigma σ S → S ~ S\to\tilde{S} SS~的共形变换。

设曲面有参数化表示 S : r ( u , v ) , S ~ : r ~ ( u ~ , v ~ ) S:r(u,v),\tilde{S}:\tilde{r}(\tilde{u},\tilde{v}) S:r(u,v),S~:r~(u~,v~),设 σ : D → D ~ \sigma:D\to\tilde{D} σ:DD~使得 σ ( u , v ) = ( u ~ , v ~ ) \sigma(u,v)=(\tilde{u},\tilde{v}) σ(u,v)=(u~,v~)是光滑双射。

σ \sigma σ是共形变换 ⇔ ∀ v , w ∈ T P S \Leftrightarrow\forall\boldsymbol{v},w\in T_{\boldsymbol{P}}S v,wTPS,

⟨ v , w ⟩ ∣ v ∣ ∣ w ∣ = ⟨ σ ∗ ( v ) , σ ∗ ( w ) ⟩ ∣ σ ∗ ( v ) ∣ ∣ σ ∗ ( w ) ∣ \frac{\langle v,w\rangle}{|v||w|}=\frac{\langle\sigma_*(v),\sigma_*(w)\rangle}{|\sigma_*(v)||\sigma_*(w)|} v∣∣wv,w=σ(v)∣∣σ(w)σ(v),σ(w)⟩

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