线性规划中的几种逻辑表达式

注意： 摘录字刘博士的《数学建模与数学规划》， 以便用时可查。

实际上Gurobi API 中自身放啊变的逻辑表达式函数，下面列出自定义的实现方式。

1 逻辑与

如果 $x_1=1$, $x_2=1$, 那么 $y=1$

如果考虑N个变量的逻辑与，则：

2 逻辑或

如果 $x_1=1$ 或者 $x_2=1$, 那么 $y=1$

如果考虑 N个变量的逻辑或， 则：

3 逻辑异或

如果 $x_1=1$ 和 $x_2=1$中， 当且仅当一个为真时, $y=1$

如果考虑N个0-1变量的异或， 那么：

4 if-then 约束

当 $x_1>=x_2$ 时 v=1；
当 $x_1<x_2$ 时， v=0.

考虑上述两个推理的逆否命题。 第一个为 当 v=0 时，有 $x_1<x_2$， 进一步 $x_1-x_2<0$, 在数学规划中，一般使用$<=$ 或者 $>=$, 引入非常小的正数 $ϵ$,使得 $x_1-x_2+ϵ<=0$, 于是写为线性规划约束为：
$x_1-x_2+ϵ-Mv<=0$

第二个的逆否命题为 当 v=1时，有 $x_1>=x_2$, 进一步 $x_2-x_1<=0$,于是写为线性规划约束为：
$x_2-x_1-M(1-v)<=0$

其他的常见的建模方法：