背包问题

有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

卡玛网的代码参考

n, bagweight = map(int, input().split())weight = list(map(int, input().split()))
value = list(map(int, input().split()))dp = [[0] * (bagweight + 1) for _ in range(n)]for j in range(weight[0], bagweight + 1):dp[0][j] = value[0]for i in range(1, n):for j in range(bagweight + 1):if j < weight[i]:dp[i][j] = dp[i - 1][j]else:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])print(dp[n - 1][bagweight])

一维dp 的01背包初始化和遍历顺序更简单，一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维不同，使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历。

n, bagweight = map(int, input().split())
weight = list(map(int, input().split()))
value = list(map(int, input().split()))dp = [0] * (bagweight + 1)  # 创建一个动态规划数组dp，初始值为0dp[0] = 0  # 初始化dp[0] = 0,背包容量为0，价值最大为0for i in range(n):  # 应该先遍历物品，如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品for j in range(bagweight, weight[i]-1, -1):  # 倒序遍历背包容量是为了保证物品i只被放入一次dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])print(dp[bagweight])

416. 分割等和子集

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

注意: 每个数组中的元素不会超过 100 数组的大小不会超过 200

示例 1:
输入: [1, 5, 11, 5]
输出: true
解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].

示例 2:
输入: [1, 2, 3, 5]
输出: false
解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.

参考代码，重点掌握一维的方法。

class Solution:def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:_sum = 0# dp[i]中的i表示背包内总和# 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200# 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了dp = [0] * 10001for num in nums:_sum += num# 也可以使用内置函数一步求和# _sum = sum(nums)if _sum % 2 == 1:return Falsetarget = _sum // 2# 开始 0-1背包for num in nums:for j in range(target, num - 1, -1):  # 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历dp[j] = max(dp[j], dp[j - num] + num)# 集合中的元素正好可以凑成总和targetif dp[target] == target:return Truereturn False

简化

class Solution:def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:if sum(nums) % 2 != 0:return Falsetarget = sum(nums) // 2dp = [0] * (target + 1)for num in nums:for j in range(target, num-1, -1):dp[j] = max(dp[j], dp[j-num] + num)return dp[-1] == target

二维DP

class Solution:def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:total_sum = sum(nums)if total_sum % 2 != 0:return Falsetarget_sum = total_sum // 2dp = [[False] * (target_sum + 1) for _ in range(len(nums) + 1)]# 初始化第一行（空子集可以得到和为0）for i in range(len(nums) + 1):dp[i][0] = Truefor i in range(1, len(nums) + 1):for j in range(1, target_sum + 1):if j < nums[i - 1]:# 当前数字大于目标和时，无法使用该数字dp[i][j] = dp[i - 1][j]else:# 当前数字小于等于目标和时，可以选择使用或不使用该数字dp[i][j] = dp[i - 1][j] or dp[i - 1][j - nums[i - 1]]return dp[len(nums)][target_sum]

一维DP

class Solution:def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:total_sum = sum(nums)if total_sum % 2 != 0:return Falsetarget_sum = total_sum // 2dp = [False] * (target_sum + 1)dp[0] = Truefor num in nums:# 从target_sum逆序迭代到num，步长为-1for i in range(target_sum, num - 1, -1):dp[i] = dp[i] or dp[i - num]return dp[target_sum]