【高中数学/指数、对数】已知9^m=10,a=10^m-11,b=8^m-9,则ab两数和0的大小关系是？（2022年全国统考高考真题）

【问题】

已知9^m=10,a=10^m-11,b=8^m-9,则（）

A.a>0>b B.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a

【解答】

首先注意到10^log10_11-11=0,8^log8_9-9=0，

问题就转化为log8_9,log9_10,log10_11谁大谁小的问题，

再进一步，转化为函数y=logx_x+1=ln(X+1)/lnX是增函数还是减函数的问题。

回忆y=lnX图线，斜率是越来越平缓，

故y=ln(X+1)/lnX，在x越来越大时，比值会接近1，

也就是说，y=ln(X+1)/lnX的图线，在x>1时，回是一条从高处下落，渐渐趋近于y=1的曲线，这个函数是减函数，如下图所示：

至此，我们可以判断：log8_9>log9_10>log10_11

所以a=10^log9_10-11>10^log10_11-11=0,即a>0

0=8^log8_9-9>8^log9_10-9=b,0>b

因此，最终得出a>0>b的结论，选择项选A

此外，由于可以把函数计算器带入高考考场，考生可以利用换底公式计算得log8_9=1.0567>log9_10=1.0479>log10_11=1.0413,从而轻松知道三个数的大小，继而解题。

【绘制上图用到的代码】

<!DOCTYPE html>
<html lang="utf-8">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
<head><title>UNASSIGNED</title><style type="text/css">.centerlize{margin:0 auto;border:0px solid red;width:1200px;height:600px;}</style></head><body οnlοad="draw();"><div class="centerlize"><canvas id="myCanvas" width="10px" height="10px" style="border:1px dashed black;">如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas，请更换浏览器再试.</canvas></div></body>
</html>
<script type="text/javascript">
<!--
/*****************************************************************
* 将全体代码拷贝下来，粘贴到文本编辑器中，另存为.html文件，
* 再用chrome浏览器打开，就能看到动画效果。
******************************************************************/// 系统常量定义处
const TITLE="y=logx_x+1函数图像";    // 图像标题
const WIDTH=1200;                    // 画布宽度
const HEIGHT=600;                    // 画布高度
const ScaleUnit=50;                // 缩放比例// 系统变量定义处
var context=0;                        // 画布环境
var stage;                            // 舞台对象
var timeElapsed=0;                    // 动画运作的的时间
const TIME_END=100000;                // 动画运作的期限//-------------------------------
// Canvas开始运作，由body_onload调用
//-------------------------------
function draw(){document.title=TITLE;// 画图前初始化var canvas=document.getElementById('myCanvas');    canvas.width=WIDTH;canvas.height=HEIGHT; context=canvas.getContext('2d');  // 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换// 处置完成前，原点在左上角，向右为X正向，向下为Y的正向// 处置完毕后，原点移动到画布中央，向右为X正向，向上为Y的正向context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2);context.rotate(Math.PI);context.scale(-1,1);// 初始化舞台stage=new Stage();// 开始动画animate();
};//-------------------------------
// 画图
//-------------------------------
function animate(){    timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1stage.update(timeElapsed);stage.paintBg(context);stage.paint(context);if(timeElapsed<TIME_END){        window.requestAnimationFrame(animate);}
}//-------------------------------
// 舞台对象定义处
//-------------------------------
function Stage(){var obj=new Object;obj.curve1={name:"曲线:y=ln(x+1)/lnx",xEnd:11,x:0,y:0,color:"maroon",setY:function(x){this.y=Math.log(x+1)/Math.log(x);// 解析式let coord={"x":x,"y":this.y};if(x<1){this.pts0.push(coord);    }else{this.pts1.push(coord);    }},"pts0":[],"pts1":[],};// 随时间更新位置obj.update=function(t){// 记录曲线1的xy值if(obj.curve1.x<obj.curve1.xEnd){obj.curve1.x+=0.01;obj.curve1.setY(obj.curve1.x);}    };// 画前景obj.paint=function(ctx){  // 曲线一名称drawText(ctx,this.curve1.name,-130,225,this.curve1.color,18);// 曲线一当前点坐标drawText(ctx,"当前 X:"+this.curve1.x.toFixed(3)+"  Y:"+this.curve1.y.toFixed(3),-130,205,this.curve1.color,18);var value=Math.log(9)/Math.log(8);var text="a="+value.toFixed(3);drawText(ctx,text,430,185,this.curve1.color,18);var value=Math.log(10)/Math.log(9);var text="b="+value.toFixed(3);drawText(ctx,text,430,165,this.curve1.color,18);var value=Math.log(11)/Math.log(10);var text="c="+value.toFixed(3);drawText(ctx,text,430,145,this.curve1.color,18);// 绘制曲线一paintCurve(ctx,this.curve1.color,this.curve1.pts0);paintCurve(ctx,this.curve1.color,this.curve1.pts1);paintPoint(ctx,8,Math.log(9)/Math.log(8),"a","black");paintPoint(ctx,9,Math.log(10)/Math.log(9),"b","black");paintPoint(ctx,10,Math.log(11)/Math.log(10),"c","black");};// 画背景obj.paintBg=function(ctx){// 清屏ctx.clearRect(-600,-300,1200,600);ctx.fillStyle="white";ctx.fillRect(-600,-300,1200,600);// 画X轴drawAxisX(ctx,-600,600,50);// 画Y轴drawAxisY(ctx,-300,300,50);// 画网格线drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50);// 左上角标题var metrics = ctx.measureText(TITLE);var textWidth = metrics.width;drawText(ctx,TITLE,-WIDTH/2+textWidth,HEIGHT/2-30,"grey",18);// 右下角作者，日期const waterMarkTxt="逆火原创@"+(new Date()).toLocaleDateString();metrics = ctx.measureText(waterMarkTxt);textWidth = metrics.width;drawText(ctx,waterMarkTxt,WIDTH/2-textWidth,-HEIGHT/2,"lightGrey",16);};return obj;
}// 描绘并标识一个点
function paintPoint(ctx,x,y,text,color){ctx.beginPath();ctx.arc(x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,4,0,Math.PI*2,false);ctx.closePath();ctx.strokeStyle=color;ctx.stroke();drawText(ctx,text,x*ScaleUnit+9,y*ScaleUnit-5,color,12);
}// 连点成线画曲线
function paintCurve(ctx,color,cds){ctx.strokeStyle = color;ctx.beginPath();     for(var i=0; i<cds.length; i++){let y=cds[i].y;if(Math.abs(cds[i].y*ScaleUnit)<300){ctx.lineTo(cds[i].x*ScaleUnit,cds[i].y*ScaleUnit);}}     ctx.stroke();        
}// 找到坐标数组的最大最小值
function findMaxMin(cds){if(cds.length<1){return null;}var retval={max:-10000,max_x:0,min:10000,min_x:0};for(var i=0;i<cds.length;i++){var y=cds[i].y;if(y>retval.max){retval.max=y;retval.max_x=cds[i].x;}if(y<retval.min){retval.min=y;retval.min_x=cds[i].x;}} return retval;
}// 绘出最大最小值
function markMaxMin(ctx,mm,color){if(mm==null){return;}// 最大值var x=mm.max_x;var y=mm.max;ctx.strokeStyle=color;ctx.beginPath();ctx.arc(x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,5,0,Math.PI*2,false);ctx.closePath();ctx.stroke();var text="max@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);drawText(ctx,text,x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,color,12);// 最小值var x=mm.min_x;var y=mm.min;ctx.strokeStyle=color;ctx.beginPath();ctx.arc(x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,5,0,Math.PI*2,false);ctx.closePath();ctx.stroke();var text="min@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);drawText(ctx,text,x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,color,12);
}// 定点画实心圆
function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){ctx.save();ctx.beginPath();ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI);ctx.fillStyle=color;ctx.fill();ctx.stroke();ctx.restore();
}// 两点之间画线段
function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){ctx.save();ctx.lineWidth=0.25;ctx.strokeStyle=color;ctx.fillStyle=color;ctx.beginPath();ctx.moveTo(x1,y1);ctx.lineTo(x2,y2);ctx.stroke();ctx.closePath();ctx.restore();
}// 画横轴
function drawAxisX(ctx,start,end,step){const AXISY_COLOR="black";ctx.save();ctx.lineWidth=0.5;ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;// 画轴ctx.beginPath();ctx.moveTo(start, 0);ctx.lineTo(end, 0);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画箭头ctx.beginPath();ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10);ctx.lineTo(end, 0);ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画刻度var x,y;y=5;for(x=start;x<end;x+=step){if(x==0){continue;}ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, 0);ctx.lineTo(x, y);ctx.stroke();ctx.closePath();drawText(ctx,x/ScaleUnit+"",x,y-20,AXISY_COLOR,12);}ctx.restore();
}// 画纵轴
function drawAxisY(ctx,start,end,step){const AXISY_COLOR="black";ctx.save();ctx.lineWidth=0.5;ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;// 画轴ctx.beginPath();ctx.moveTo(0, start);ctx.lineTo(0, end);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画箭头ctx.beginPath();ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);ctx.lineTo(0, end);ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画刻度var x,y;x=5;for(y=start;y<end;y+=step){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, y);ctx.lineTo(0, y);var text=y/ScaleUnit+"";var metrics = ctx.measureText(text);var textWidth = metrics.width;drawText(ctx,text,x-textWidth-5,y,AXISY_COLOR,12);ctx.stroke();ctx.closePath();}ctx.restore();
}// 画网格线
function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2){ctx.save();ctx.lineWidth=0.25;ctx.strokeStyle="lightgrey";    // 分十格var x,y;for(x=x1;x<x2;x+=step1/10){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, y1);ctx.lineTo(x, y2);ctx.stroke();ctx.closePath();}for(y=y1;y<y2;y+=step2/10){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x1, y);ctx.lineTo(x2, y);ctx.stroke();ctx.closePath();}// 十小格间的分割线ctx.lineWidth=0.25;ctx.strokeStyle="grey";ctx.setLineDash([5,5]);// 设置虚线for(x=x1;x<x2;x+=step1){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, y1);ctx.lineTo(x, y2);ctx.stroke();ctx.closePath();}for(y=y1;y<y2;y+=step2){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x1, y);ctx.lineTo(x2, y);ctx.stroke();ctx.closePath();}ctx.restore();
}//-------------------------------
// 角度得到弧度
//-------------------------------
function getRad(degree){return degree/180*Math.PI;
}//-------------------------------
// 得到颜色
//-------------------------------
function getColor(index){var arr=["aqua"/* aqua湖绿色*/,"black"/* black黑色*/,"blue"/* blue蓝色*/,"fuchsia"/* fuchsia 紫红*/,"green"/* green 绿色*/,"grey"/* grey 草木灰*/,"lime"/* lime 亮绿色*/,"maroon"/* maroon 棕色*/,"navy"/* navy 海军蓝*/,"orange"/* orange 橙色*/,"purple"/* purple 紫色*/,"red"/* red 大红*/,        "skyblue"/* skyblue 天蓝*/,"teal"/* teal 蓝绿色*/,"yellow"/* yellow 亮黄*/,"#aa0000"/* #aa0000 铁锈红*/,        ];if(index>arr.length){index=index % arr.length;}return arr[index];
}//-------------------------------------
// 绘制文字,指定颜色
// ctx:绘图环境
// text:文字
// x,y:坐标
// color:颜色
// size:字体大小
//-------------------------------------
function drawText(ctx,text,x,y,color,size){ctx.save();ctx.translate(x,y)ctx.rotate(getRad(180))ctx.scale(-1,1)ctx.textBaseline="bottom";ctx.textAlign="center";ctx.fillStyle=color;ctx.font = size+"px consolas";ctx.fillText(text,0,0);ctx.restore();
}// JS开立方
function kaiLiFang(x){if(x>0){return Math.pow(x,1/3);}else{return -Math.pow(-x,1/3);}
}
//-->
/**************************************
人的希望就像一颗恒星，
每到深夜又会重放光芒，
无论你因为环境影响，
还是为自身条件所限，
被动或主动放弃过它多少次，
它一直都在那，
静静地看着你。
**************************************/
</script>