题解:CF1981C(Turtle and an Incomplete Sequence)

题解:CF1981C(Turtle and an Incomplete Sequence)

Part 1:题意理解

  • 地址链接:CF、洛谷。
  • 题面翻译:给定一个长度为 n n n 的序列 a a a,其中有一些元素未知,用 − 1 -1 1 表示,现在要将数组 a a a 补充完整,即将 a a a 中所有的 − 1 -1 1 替换成一个小于等于 1 0 9 10^9 109正整数,使得对于任意一个 1 ≤ i < n 1\leq i<n 1i<n,都有 a i = ⌊ a i + 1 2 ⌋ a_i=\left\lfloor\frac{a_{i+1}}{2}\right\rfloor ai=2ai+1 或者 a i + 1 = ⌊ a i 2 ⌋ a_{i+1}=\left\lfloor\frac{a_i}{2}\right\rfloor ai+1=2ai。如果存在合法的方案,输出填充后的数组,否则输出 − 1 -1 1
  • 数据范围: n ≤ 2 ⋅ 1 0 5 n\leq2\cdot10^5 n2105,只能接受线性算法

Part 2:算法分析

  • 典型构造题。
  • 首先特判,如果 a a a 中所有元素都未知,那么就 1 1 1 2 2 2 交替输出。
  • 由于前缀后缀 − 1 -1 1 都很好处理,并且对中间没有影响,先将他们特别处理。具体的,以前缀为例,假设 a 1 a_1 a1 a i a_i ai 均为 − 1 -1 1,且 a i + 1 a_{i+1} ai+1 不是 − 1 -1 1,是已知的,那么将 1 1 1 i i i 中所有与 i + 1 i+1 i+1 奇偶性相同的赋值为 a i + 1 a_{i+1} ai+1,其余赋值为 a i + 1 × 2 a_{i+1}\times 2 ai+1×2
  • 对于中间,每个连续的 − 1 -1 1 组成的独立的,可分别处理。假设现在处理的是 a u a_u au a v a_v av 这个段,我们的目标就是通过 v − u + 2 v-u+2 vu+2 次乘 2 2 2、除以 2 2 2 的操作让 a u − 1 a_{u-1} au1 变成 a v + 1 a_{v+1} av+1。也就是说 a u − 1 ≠ − 1 a_{u-1}\neq-1 au1=1 a u a_u au a v a_v av 都是 − 1 -1 1 a v + 1 ≠ − 1 a_{v+1}\neq-1 av+1=1。根据题面分析,其实说 a i a_i ai a i + 1 a_{i+1} ai+1 满足条件,实际上就是说它们在由 1 1 1 n n n 编号的节点组成的完全二叉树上是相邻的。因此, a u − 1 a_{u-1} au1 通过一些操作变成 a v + 1 a_{v+1} av+1,就相当于在这棵完全二叉树上找到一个从 a u − 1 a_{u-1} au1 走到 a v + 1 a_{v+1} av+1长度等于 v − u + 2 v-u+2 vu+2 的路径。
  • 如何找这条路径呢?显然,只要找出两个节点的 LCA,按照 a u − 1 a_{u-1} au1 到 LCA 再到 a v + 1 a_{v+1} av+1 的顺序走就能得出最短的一条路径。至于怎么使它加长,就可以直接在某个点上,比如 LCA,不断地乘 2 2 2、除以 2 2 2 就可以了。当然,如果奇偶性不对,或者最短的长度也不够,自然不行。
  • 但是如何实现呢?有两个指针分别指向这段未知的元素最左侧最右侧仍旧没有填充的位置。每一次,如果某一侧最后一个已经填充完成的数较大,就让对应侧的指针对应的元素赋值为它除以 2 2 2。如果两侧相等,就让其中一个能除以二就除以二;不能除以二,也就是说对应的已经处理完的是 1 1 1,就乘二。最后判断两个方向最后一个赋值的是否满足条件即可。

Part 3:代码实现

#include <bits/stdc++.h>
#define N 220000
using namespace std;
int t, n, a[N];
int s, lst, u, v;
bool flag;
int main() {scanf("%d", &t);while (t--) {scanf("%d", &n);s = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d", &a[i]);if (a[i] == -1) {s++;}}flag = false;for (int i = 2; i <= n; i++) {if (a[i - 1] != -1 && a[i] != -1 && a[i - 1] != a[i] / 2 && a[i] != a[i - 1] / 2) {flag = true;break;}}if (flag == true) {printf("-1\n");continue;}if (s == n) {for (int i = 1; i <= n; i++) {if (i % 2 == 0) {printf("1 ");} else {printf("2 ");}}printf("\n");} else {lst = -1;for (int i = 1; i <= n; i++) {if (a[i] != -1) {lst = i;break;}}for (int i = lst - 1; i >= 1; i--) {if (i % 2 == lst % 2) {a[i] = a[lst];} else {a[i] = a[lst] * 2;}}lst = -1;for (int i = n; i >= 1; i--) {if (a[i] != -1) {lst = i;break;}}for (int i = lst + 1; i <= n; i++) {if (i % 2 == lst % 2) {a[i] = a[lst];} else {a[i] = a[lst] * 2;}}lst = -1;flag = true;for (int i = 1; i <= n; i++) {if (a[i] == -1) {if (lst == -1) {lst = i;}if (a[i + 1] != -1) {u = lst;v = i;while (u <= v) {if (a[u - 1] > a[v + 1]) {a[u] = a[u - 1] / 2;u++;} else if (a[u - 1] < a[v + 1] ){a[v] = a[v + 1] / 2;v--;} else {if (a[u - 1] == 1) {a[u] = a[u - 1] * 2;} else {a[u] = a[u - 1] / 2;}u++;}}if (a[u] != a[v] / 2 && a[v] != a[u] / 2) {flag = false;break;}lst = -1;}}}if (flag == false) {printf("-1\n");} else {for (int i = 1; i <= n; i++) {printf("%d ", a[i]);}printf("\n");}}}return 0;
}

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