数据结构-树的性质

树的定义

树是一个有限数据元素的集合，当数据的量为0时，称为空树。

在一个非空树T中，最上方的结点没有前驱结点，称为根节点。在一个数据量大于1的树中，除了根节点之外的其余数据元素可以被分为m个互不相交的集合T1,T2,T3等。其中每一个集合T都可以看作一个单独的树，称为整个树的子树。

树拥有层级结构，而这种层级结构由递归实现。从根节点开始，根节点为第一层。经过一次递归得到的结点称为第二层，以此类推。而如果同一层的节点之间互相连通，则不成为树结构。

也就是说，树结构的每一层之间都至少有两个节点互相连通，而同一层之间的每一个结点都不能互相连通。

树的基本术语：

结点的度	结点的分支数
叶子	度为0的结点
结点的层次	根节点的度为1，根节点的子树为第2层
树的度	树中所有结点的度的最大值
树的深度	树中所有结点层次的最大值
有序树	每颗子树的左右顺序不可更换
无序树	每颗子树的左右顺序可以更换
森林	m个互不相交的树的集合

二叉树

二叉树的特点：

（1）每个结点最多有两棵子树

（2）子树有左右之分

如果一个深度为 $K$ 的二叉树的节点数为最大值则称为满二叉树。

若有一颗深度为 $K$ ，节点数为 $n$ 的二叉树，将它与同一颗同深度的满二叉树中的所有结点从上到下、从左到右的顺序进行编号。如果该二叉树中的每一个节点分别与满二叉树中编号为1~ $n$ 的结点位置一一对应，则称该二叉树为完全二叉树。

二叉树的性质：

（1）在二叉树的第 $i$ 层上最多有 $2^{i-1}$ 个结点（ $i\geqslant 1$ ）

（2）深度为 $K$ 的二叉树最多有 $2^{K}-1$ 个结点（ $K\geqslant 1$ ）

（3）对于任意一颗二叉树，如果度为 $0$ 的结点为 $m$ 个，度为 $2$ 的结点为 $n$ 个，则 $m=n+1$

（4）具有 $n$ 个结点的完全二叉树中的所有结点从上到下、从左到右的顺序编号，则对任意一个结点 $i$ ，都有：

①如果 $i=1$ ，则结点 $i$ 是这颗完全二叉树的根，没有双亲。如果 $i\neq 1$ ，则其双亲接待你的编号为 $\left \lfloor \frac{i}{2} \right \rfloor$

②如果 $i> \frac{n}{2}$ ，则结点 $i$ 没有左孩子，如果 $i\leq \frac{n}{2}$ ，则其左孩子结点的编号为 $2i$

③如果 $i> \frac{n-1}{2}$ ，则结点 $i$ 没有有孩子，如果 $i\leq\frac{n-1}{2}$ ，则其右孩子结点的编号为 $2i+1$