题目：太阳能路灯光伏板的朝向设计问题

难度对标几乎每一年的国赛A题。

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背景

太阳能路灯由太阳能电池板组件部分（包括支架）、LED灯头、控制箱（包含控制器、蓄电池）、市电辅助器和灯杆几部分构成。太阳能电池板通过支架固定在灯杆上端。太阳能电池板也叫光伏板， 它利用光伏效应接收太阳辐射能并转化为电能输出，经过充放电控制器储存在蓄电池中。

太阳能辐射由直射辐射和散射辐射组成，其中直射辐射对聚集太阳能系统起到了至关重要的影响。大气层对太阳能直射辐射的衰减变化量与其辐射强度、所穿过的大气层厚度成正比，其中衰减系数（W/(m2km)）反映了一个地区大气层的透光性能。通常地球表面大气层厚度按1000公里计算，大气层可视为包裹地球的球壳。太阳光到达大气层外层上的平均太阳能辐射强度I0为1353W/m2。受地球运行轨道及太阳光传播的距离影响，大气层外层太阳能辐射强度随时间发生改变。附件sheet2给出了1-12月份大气层外层太阳能辐射强度具体数值。

安装光伏板的朝向直接影响到光伏板获得太阳辐射能量的多少。光伏板的朝向包括方位角和水平仰角，方位角为光伏板的法线在水平面上的投影与正南方向的夹角。并按如下方法规定：如果一个光伏板朝向正南，那么它的方位角为零；如果一个光伏板朝向正东，那么它的方位角为90º ；如果一个
光伏板朝向正西，那么它的方位角为−90º；水平仰角为光伏电池板平面与水平面的夹角。当太阳光线和光伏板的法线方向一致时，光伏板瞬时受到的太阳照射能量最大，否则会有余弦损失。

问题

某城区地处北纬3035，东经11419，附件sheet1给出了该城区2023年5月23日晴天状况下测得地表水平面受到的太阳直射强度值。关于赤纬角、太阳高度角、太阳时角等相关概念，可参见全国大学生数学建模竞赛2012B 题附件6、2015A题讲解和2023A题附录。请在仅考虑太阳直射辐射
的情况下建立数模，回答如下问题：

问题一

请计算2025年每月15日，在晴天条件下，该城区一块面积为1m2的光伏板朝向正南方且水平倾角分别为20、40、60时受到的最大太阳直射强度和太阳直射辐射总能量；

问题二

如果光伏板受到的太阳直射辐射总能量最大时，可使路灯蓄电池储电量最大。请设计该城区固定安装太阳能光伏板的朝向，使光伏板在晴天条件下受到的太阳直射辐射日均总能量最大；

问题三

当光板受到太阳直射强度过低时，它转换电能的效率也很低；而当光伏板受到太阳直射强度过高时，它转换电能实现储电的效率也会受到限制。理想的情况是，光伏板受到太阳直射强度上午大于150W/m2、下午大于100W/m2的时间尽可能长，这样可以使路灯蓄电池的储电效率更高。综合考虑路灯蓄电池的储电效率高和储电量大这两个目标，请设计出光伏板固定安装的最优朝向，并计算晴天条件下光伏板受到的太阳直射辐射日均总能量和太阳直射辐射（上午大于150 W/m2、下午大于100 W/m2）时长

题目解读

A题背景尤为重要，因此一定要先读懂背景，再去做题，下面是背景解读。

A: 太阳能路灯组成
太阳能路灯主要由以下几部分构成：

1. 太阳能电池板组件：包括支架，安装在灯杆上端。主要功能是接收太阳辐射能，并将其转换为电能。
2. LED灯头：使用太阳能电池板生成的电能来提供照明。
3. 控制箱：内含控制器和蓄电池，控制器负责管理电能的充放电过程，蓄电池则储存电能。
4. 市电辅助器：在太阳能供电不足时，可以利用市电来保障路灯的正常工作。
5. 灯杆：用来固定上述设备。

B: 太阳能辐射的组成

太阳能辐射主要由直射辐射和散射辐射组成：

1. 直射辐射：直接从太阳发出，未被大气显著散射的辐射。这是太阳能电池板最主要的能量来源，因为其能量密度高，尤其在晴朗的天气下。
2. 散射辐射：在通过大气层的过程中，太阳辐射会被大气中的气体分子、水滴、尘埃等散射。这部分辐射从多个方向到达地面，强度通常低于直射辐射。

C: 大气层对太阳能辐射的影响
太阳光在穿透大气层时会受到吸收和散射，这会减少到达地面的辐射能量。衰减与以下因素有关：

1. 辐射强度：太阳光的原始强度越高，即使经过散射和吸收，到达地面的绝对能量也可能更多。
2. 大气层厚度：太阳光穿过的大气层越厚，衰减越大。这不仅取决于地理位置（如海拔高度），还取决于太阳高度角（即一天中的时间和年中的日期）。

D: 光伏板的朝向
光伏板的朝向对其效率有重大影响。朝向包括：

• 方位角：光伏板平面法线在水平面上的投影与正南方向的夹角。正南为0°，正东为90°，正西为-90°。
• 水平仰角：光伏板平面与水平面的夹角。

当光伏板与太阳光线的法线方向一致时，接收到的照射量最大，否则存在损失。

E: 目标
我们要建立的数学模型需要考虑这些因素，以最大化太阳能的利用效率。这包括计算不同朝向和仰角下的直射辐射强度及其总能量，为最优设计提供科学依据。

相关公式（必备）

与题目和背景相关的公式的整理如下：

太阳辐射的计算

1. 太阳高度角 ( \alpha_s ):
   $$\sin {\alpha }_s=\cos \delta \cos \varphi \cos \omega +\sin \delta \sin \varphi$$
   其中 $$\delta$$ 是赤纬角，$$\varphi$$ 是观测点纬度，$$\omega$$ 是时角。

2. 太阳方位角 ( \gamma_s ):
   $$\cos {\gamma }_s=\frac{\sin \delta -\sin {\alpha }_s\sin \varphi }{\cos {\alpha }_s\cos \varphi }$$
   当太阳时角 $$\omega$$ 为负值时（即上午），方位角$${\gamma }_s$$ 应小于 180°，为正值时（即下午），方位角应大于 180°。

3. 赤纬角 ( \delta ):
   $$\sin \delta =\sin \left(\frac{2\pi D}{365}\right)\sin \left(\frac{2\pi }{360}23.45\right)$$
   ( D ) 是春分后的天数。

4. 时角 ( \omega ):
   $$\omega =\frac{\pi }{12}(ST-12)$$
   $$ST$$ 是太阳时。

光伏板接收的辐射

5. 地面直接辐射强度 DNI:
   $$DNI=G_0\left[a+b\exp \left(-\frac{c}{\sin {\alpha }_s}\right)\right]$$
   其中：

   • $$G_0$$ 是太阳常数，取值为 1.366 kW/m²。

   • $$H$$ 是海拔高度（单位：km）。

   • $$a,b,c$$ 是与海拔高度相关的系数，由下式给出：
     $$a=0.4237-0.00821(6-H{)}^2$$

     $$b=0.5055+0.00595(6.5-H{)}^2$$
     $$c=0.2711+0.01858(2.5-H{)}^2$$

6. 定日镜场的输出热功率 ( E_{\text{field}} ):
   $$E_{\text{field}}=DNI\cdot \sum _i{A}_i{\eta }_i$$
   其中 $$N$$ 是定日镜的数量，$$A_i$$ 是第 $$i$$ 面镜子的采光面积，$${\eta }_i$$ 是光学效率。

光学效率

7. 光学效率 ( \eta ):
   $$eta={\eta }_{\text{sb}}{\eta }_{\text{cos}}{\eta }_{\text{at}}{\eta }_{\text{trunc}}{\eta }_{\text{ref}}$$

$$\eta ={\eta }_{\text{sb}}{\eta }_{\text{cos}}{\eta }_{\text{at}}{\eta }_{\text{trunc}}{\eta }_{\text{ref}}$$
$${\eta }_{\text{at}}=0.99321-0.0001176d_{\text{HR}}+1.97\times 10^{-8}\times d_{\text{HR}}^2$$
$${\eta }_{\text{ref}}=0.92(如果没有更详细的信息，镜面反射率可以使用这个默认值)$$

其中:

• $$n$$是从年初到计算日期的天数。
• $$\varphi$$是观测点的纬度，对于北纬为正值。
• $$ST$$是太阳时，可以通过当地时间转换得到。
• $$G_0$$是太阳常数，取值1.366 kW/m²。
• $$H$$是海拔高度，单位是km。
• $$A_i$$是第 i 面定日镜的面积。
• $$et{a}_i$$是第 i 面定日镜的光学效率。

大 气透射率

8. 大气透射率 ( \eta_{\text{at}} ):
   $${\eta }_{\text{at}}=0.99321-0.0001176d_{\text{HR}}+1.97\times 10^{-8}\times d_{\text{HR}}^2$$
   其中$$d_{\text{HR}}$$ 是镜面中心到集热器中心的水平距离。

角度计算

1. 太阳时角 ( \omega ):
   $$\omega =15^{\circ }\times (t-12)$$
   其中 ( t ) 是以小时为单位的太阳时，这个角度说明了从正午12点开始，每过一小时太阳位置的角度变化。

2. 赤纬角 ( \delta ):
   $$\delta =23.45^{\circ }\sin \left(\frac{2\pi }{365}\times (284+n)\right)$$
   其中 ( n ) 是年初至计算日期的天数。赤纬角提供了太阳在地球赤道上南北方向上的位置。

3. 太阳高度角 ( \alpha_s ):
   $$\sin {\alpha }_s=\sin \delta \sin \varphi +\cos \delta \cos \varphi \cos \omega$$
   太阳高度角说明了太阳在地平线上方的角度高度，对于光伏板接收太阳能量至关重要。

4. 太阳方位角 ( \gamma_s ):
   $$\sin {\gamma }_s=\frac{-\sin \omega \cos \delta }{\cos {\alpha }_s}(上午)$$
   $$\cos {\gamma }_s=\frac{\sin \delta -\sin \varphi \sin {\alpha }_s}{\cos \varphi \cos {\alpha }_s}(下午)$$

太阳方位角说明了太阳在水平面上的方向，对于光伏板的方向布置非常重要。上午和下午的计算公式不同，因为太阳从东升西落，方向变化需要不同的计算方式。

大气衰减系数

衰减系数通常涉及以下因素：

• 光学深度，它与大气中的气溶胶、水蒸气和其他组分的含量有关；
• 空气质量因子，它取决于太阳光线通过大气层的路径长度；
• 太阳的高度角，它影响了太阳光线穿过大气层的厚度。

衰减可以用Beer-Lambert定律描述，该定律是一个指数衰减过程：
$$I=I_0{e}^{-\tau }$$
其中 I 是到达地面的太阳辐射强度， I_0 是到达大气层外的太阳辐射强度， \tau 是大气的光学深度，这个参数可以结合空气质量因子来计算。

具体值，需要带入相关数据得到对应参数值。

上述这些公式可用于计算问题中提到的“晴天条件下，该城区一块面积为1m²的光伏板朝向正南方且水平倾角分别为20°、40°、60°时受到的最大太阳直射强度和太阳直射辐射总能量”。使用这些公式，我们可以建立模型来估计在给定日期和地点下光伏板接收到的直射辐射。

计算

• 大气层外的太阳辐射强度：这个值在附件的sheet2中已经给出了全年每个月的具体数值。
• 赤纬角：赤纬角的计算公式已经给出，需要知道年中的具体日期来计算。对于2025年的每个月15日，我们需要将这个日期转换成年中的第几天来计算赤纬角。
• 太阳时角：这些值取决于具体时间和地点。我们需要用给定地点的经纬度和时间来计算。
• 气衰减系数：如果要考虑大气对太阳辐射的衰减，我们需要知道衰减系数的具体值，这通常是通过实验或者经验估计得出的。在实际应用中，这个系数可能会根据当地的大气条件（如湿度、气溶胶含量等）进行调整。
• …

具体思路代码

待定~

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