统计信号处理基础 习题解答10-9

题目

某质检员的工作是监控制造出来的电阻阻值。为此他从一批电阻中选取一个并用一个欧姆表来测量它。他知道欧姆表质量较差,它给测量带来了误差,这个误差可以看成是一个的随机变量。为此,质检员取N个独立的测量。另外,他知道阻值应该是100欧姆。由于制造允许的容差,通常他们在用表示的误差范围内,其中。如果质检员选择一个电阻,那么平均来说需要多少次欧姆表测量才能保证阻值R的MMSE估计量精确到0.1欧姆?也就是说,质检员在一整天内需要连续选择多少个电阻?如果他没有关于制造容差的任何先验知识,他需要测量多少次。


解答

每次采集的电阻值满足:

根据题目条件:

其中的这个分布属于高斯先验PDF,即;而欧姆表的观测误差由决定,即决定了条件PDF的方差,同时假设相互独立。

由例10.1得到的后验方差为:

根据题目要求,希望MMSE估计量精确到0.1,那么换算到方差要小于0.01,也就是B,带入可以得到:

得到:

因此,可以取10

而如果没有先验知识,也就是,此时:

此时,再要求,需要

因此,如果我们能够事先获取待估计量的先验PDF,在相同的精度要求下,可以大大减小观测次数,也就是观测时间。

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