题目

在例10.1中，把数据模型修正为：

其中是WGN，如果，那么方差，如果，那么方差。求PDF 。把它与经典情况PDF 进行比较，在经典的情况下A是确定性的，是WGN，它的方差为：a. ; b.

解答：

经典情况下，是WGN，也就是：

而经典情况下，A是确定的，因此可以转换为：

又因为是WGN，属于独立同分布，因此：

因此，经典条件下，表示无条件PDF，可以看成是未知参数的函数，用于参数估计时，也称之为似然函数。

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而在贝叶斯情况下，A也是随机变量，且根据题目设定，的方差与A的取值有关，因此两者就不独立了，进一步可以表示为：

因此：

由于在确定条件A下，之间相互独立，因此，联合概率密度也可以直接相乘，进一步可以表示为：

对比可以发现，当时：

但时：

需要进一步注意的是，尽管当时，在函数形式上两者相等，即：，但两者的物理意义是不同的。具体的描述可以参考书（10.7）公式后的描述。

是关于A的函数，即A是个确定性参数，但A有不同取值。是在不同A的取值，这一组取值的概率大小，此时属于无条件PDF。取最大值对应的A，就是极大似然估计下的；

是一种条件概率，即随机变量为A时，的概率大小，此时属于条件PDF。但由于此时随机变量取A的概率还不知道。因此，要在A在不同取值概率的情况下，整体也是关于随机变量A的函数。求该整体最大值对应的A，对应就是MAP估计下的。