推导n维镜像变换公式(householder transform)

n维镜像变换公式,就是将空间某个点 X 0 X_0 X0,以某个平面对对称平面,平面法向量维 v v v,该平面过空间原点。计算 X 0 X_0 X0的镜像。假设镜像为 X 1 X_1 X1

镜像需要满足下面两个条件
(1) X 0 X 1 X_0X_1 X0X1需要与 v v v平行
(2) X 0 X_0 X0与平面的距离等于 X 1 X_1 X1与平面的距离,并且方向相反

X 1 = X 0 + k ∗ v X 0 ⋅ v + X 1 ⋅ v = 0 X_1=X_0+k*v \\ X_0\cdot v+X_1 \cdot v = 0 X1=X0+kvX0v+X1v=0

根据这两个条件
X 0 T v + ( X 0 + k v ) T v = 0 2 X 0 T v + k v T v = 0 k = − 2 X 0 T v v T v {X_0}^Tv+\left( X_0+kv \right) ^Tv=0 \\ 2{X_0}^Tv+kv^Tv=0 \\ k=-2\frac{{X_0}^Tv}{v^Tv} X0Tv+(X0+kv)Tv=02X0Tv+kvTv=0k=2vTvX0Tv

X 1 X_1 X1的表达式为:
X 1 = X 0 − 2 ( X 0 T v v T v ) v = X 0 − 2 v ( X 0 T v v T v ) T = X 0 − 2 v v T v T v X 0 = ( I − 2 v v T v T v ) X 0 X_1=X_0-2\left( \frac{{X_0}^Tv}{v^Tv} \right) v \\ =X_0-2v\left( \frac{{X_0}^Tv}{v^Tv} \right) ^T \\ =X_0-2\frac{vv^T}{v^Tv}X_0 \\ =\left( I-2\frac{vv^T}{v^Tv} \right) X_0 X1=X02(vTvX0Tv)v=X02v(vTvX0Tv)T=X02vTvvvTX0=(I2vTvvvT)X0

这其实就是householder transform:
H = I − 2 v v T v T v H=I-2\frac{vv^T}{v^Tv} H=I2vTvvvT

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