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二叉树

树概念和结构

树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限节点组成的一个具有层次关系的集合，把它叫做树是因为它看起来像是一颗倒挂的树，也就是说它是根朝上的，而叶子是朝下的。

• 有一个特殊节点，称为根节点，根节点没有前驱节点
• 除了根节点之外，其余节点被分为M（M》0）个互不相交的集合，T1,T2......Tm，其中每一个集合Ti（1<=i<=m）又是一棵结构与树类似的子树，每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或者多个后继结点。
• 因此，树是递归定义的

这个就是树的草率定义

注意：树形结构当中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

子树是不相交的，除了根节点外，每个节点有且仅有一个父节点，一颗N个节点的树有N-1条边。

树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数叫做这个节点的度。

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点。

非终端节点或分支节点：度不为0的节点。

双亲节点或者父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点

孩子子节点或者子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点。

兄弟节点：具有相同父节点的节点称为兄弟节点

树的度，一颗树中，最大的节点的度称为树的度

节点的层次：从根开始定义，根为第一层，根的子节点称为第二层，以此类推。

树的高度或深度：树中节点的最大层次。

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。

森林，由M（M>0）棵互不相交的树的集合称为树林。

树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既要保存值域，也要保存节点和节点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法，孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法，我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法

typedef int DataType;
struct Noode
{struct Node* _firstChild;//第一个孩子节点struct Node* _pNextBrother;//指向其下一个兄弟节点DataType _data;//节点中的数据域
};

二叉树概念和结构

概念

一颗二叉树是节点的有限集合，该集合：

1.或者为空

2.由一个根节点加上两颗别称为左子树和右子树的二叉树组成

 

由上图可以看出，

二叉树不存在度大于二的节点

二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成

 

特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的节点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树，也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且节点总数是2^K-1，则它就是满二叉树

2.完全二叉树，完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的，对于深度为K的，由n个节点的二叉树，当且仅当每一个节点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的节点-一一对应时称为完全二叉树，要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树

二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构

顺序结构：

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费，而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解，二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树

链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来只是元素的逻辑关系，通常的方法是链表中每个节点有三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该节点左孩子和右孩子所在的链节点的存储地址，链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链。

typedef int BTDataType;
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* _pLeft;//指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* _right;//指向当前节点右孩子BTDataType _data;//当前节点值域
};