统计信号处理基础 习题解答10-2

题目

两个随机变量x和y,如果联合PDF分解为:

那么称他们为条件独立的。在上式中z是条件随机变量。

我们观察

其中, 是相互独立的。证明是条件独立的。给出条件变量是A。是无条件独立么?也就是

成立么?为了回答这个问题,考虑, 是独立且都有PDF N(0,1)

解答

参考(10-7),当A是条件时可以得到:

由独立的性质:

可以到

因此当, 是相互独立时,得到:

由于是相互独立的,因此:

也就是是条件独立的


如果要验证是否无条件独立,只需要计算:

由于

因此:

于是:

, , 是相互独立,因此:

而由于:

因此:

因此:不独立


当然,另外一种逻辑,就是验证是否可以拆成的乘积形式。

此时考虑:

根据多元高斯分布性质(多元高斯分布(Multivariate Gaussian Distribution)(详细说明,便于理解)-CSDN博客),得到:

其中:

 

根据上面计算,其中,而:

再利用, 是相互独立,且服从N

因此:

用同样的方式获得后,可以得到:

因此,可以得到:

于是中的可以化简为:

显然,上式无法因式分解成仅包含的独立项,也就是无法拆分成的乘积项,因此

不成立。也就是不是无条件独立

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